I. Le prisme droit
Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones superposables et parallèles (par exemple deux triangles, deux rectangles…), reliées par des faces latérales qui sont des rectangles perpendiculaires aux bases. La distance entre les deux bases est appelée la hauteur du prisme.
Le prisme est nommé selon la forme de sa base : prisme droit à base triangulaire, prisme droit à base rectangulaire (qui est alors un pavé droit), etc.
II. Aire latérale et aire totale du prisme droit
Si l’on déplie les faces latérales d’un prisme droit, on obtient un patron formé de rectangles alignés les uns à côté des autres.
Aire latérale = périmètre de la base × hauteur.
Aire totale = aire latérale + 2 × aire d’une base.
III. Volume du prisme droit
Le volume d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur.
Formule : Volume = aire de la base × hauteur.
Exemple : pour un prisme droit dont la base a une aire de 15 cm² et la hauteur mesure 8 cm, le volume est 15 × 8 = 120 cm³.
IV. Le cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est le solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés. Il possède deux bases circulaires superposables de rayon r, reliées par une surface latérale courbe. La distance entre les deux bases est la hauteur h du cylindre.
Aire latérale = 2πr × h (obtenue en déroulant la surface latérale, qui forme un rectangle de longueur 2πr et de largeur h).
Aire totale = aire latérale + 2 × aire d’un disque, soit 2πr × h + 2πr².
V. Volume du cylindre et méthode
Le volume d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire de sa base (un disque) par sa hauteur.
Formule : Volume = πr² × h.
Exemple : pour un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm (π ≈ 3,14), le volume est 3,14 × 4² × 10 = 3,14 × 16 × 10 = 502,4 cm³.
Méthode : pour résoudre un problème d’aires ou de volumes, on identifie d’abord la nature du solide, on relève les dimensions données (base, hauteur, rayon), puis on applique la formule adaptée en veillant à utiliser la même unité de longueur partout. On rappelle que 1 dm³ = 1 L et que 1 m³ = 1000 L.
Exercices
Exercice 1. Un prisme droit a une base triangulaire de périmètre 18 cm et une hauteur de 10 cm. Calculer l’aire latérale de ce prisme.
Exercice 2. La base triangulaire de ce même prisme a une aire de 24 cm². Calculer l’aire totale du prisme, puis son volume.
Exercice 3. Un cylindre de révolution a un rayon de base r = 5 cm et une hauteur h = 12 cm. Calculer l’aire latérale de ce cylindre (on prendra π ≈ 3,14).
Exercice 4. Calculer l’aire totale et le volume de ce même cylindre (π ≈ 3,14).
Exercice 5. Un réservoir a la forme d’un cylindre de rayon 20 cm et de hauteur 50 cm. Calculer son volume en cm³ puis le convertir en litres (on rappelle que 1 L = 1000 cm³, π ≈ 3,14).
Corrigés
Corrigé 1. Aire latérale = périmètre de la base × h = 18 × 10 = 180 cm².
Corrigé 2. Aire totale = aire latérale + 2 × aire de la base = 180 + 2 × 24 = 180 + 48 = 228 cm². Volume = aire de la base × h = 24 × 10 = 240 cm³.
Corrigé 3. Aire latérale = 2πr × h = 2 × 3,14 × 5 × 12 = 376,8 cm².
Corrigé 4. Aire d’une base = πr² = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Aire totale = 376,8 + 2 × 78,5 = 376,8 + 157 = 533,8 cm². Volume = πr² × h = 78,5 × 12 = 942 cm³.
Corrigé 5. Volume = πr² × h = 3,14 × 400 × 50 = 3,14 × 20 000 = 62 800 cm³. Conversion : 62 800 cm³ ÷ 1000 = 62,8 L.
