I. Angles correspondants
Lorsque deux droites (d1) et (d2) sont coupées par une même droite sécante (d), on obtient 4 angles en chaque point d’intersection.
Deux angles situés à la même position par rapport à la sécante et à leur droite respective sont appelés angles correspondants.
Propriété : si (d1) et (d2) sont parallèles, alors deux angles correspondants sont égaux.
II. Réciproque des angles correspondants
Propriété réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Cette réciproque est très utile : elle permet de démontrer que deux droites sont parallèles simplement en mesurant ou en calculant deux angles correspondants.
III. Angles alternes-internes
Deux angles situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites (d1) et (d2), sont appelés angles alternes-internes.
Propriété : si (d1) et (d2) sont parallèles, alors deux angles alternes-internes sont égaux.
IV. Réciproque des angles alternes-internes
Propriété réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Comme pour les angles correspondants, cette réciproque permet de prouver un parallélisme à partir d’une seule égalité d’angles.
V. Méthode : prouver un parallélisme ou calculer un angle
Pour prouver que deux droites sont parallèles à l’aide des angles, on suit la méthode suivante :
1) Repérer la sécante commune et les deux angles à comparer (correspondants ou alternes-internes).
2) Calculer ou mesurer chacun des deux angles.
3) Si les deux angles sont égaux, conclure que les deux droites sont parallèles, en citant la propriété réciproque utilisée.
Pour calculer un angle inconnu quand on sait déjà que deux droites sont parallèles, on applique directement la propriété directe (angles correspondants égaux, ou angles alternes-internes égaux).
Exercices
Exercice 1. Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles, coupées par une sécante (d) en A et B. Un angle en A mesure 65°. Calcule la mesure de l’angle correspondant en B.
Exercice 2. Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles, coupées par une sécante en A et B. Un angle en A mesure 48°, et son angle alterne-interne en B mesure x. Calcule x.
Exercice 3. Deux droites (d1) et (d2) sont coupées par une sécante en A et B. Un angle en A mesure 72°, l’angle correspondant en B mesure aussi 72°. Que peut-on en conclure sur (d1) et (d2) ? Justifie.
Exercice 4. Deux droites (d1) et (d2) sont coupées par une sécante en A et B. Un angle en A mesure 55°, l’angle correspondant en B mesure 60°. Les droites (d1) et (d2) sont-elles parallèles ? Justifie.
Exercice 5. Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles, coupées par une sécante. Un angle vaut (3x + 10)° et son angle correspondant sur l’autre droite vaut (5x − 20)°. Calcule x, puis la mesure de chaque angle.
Corrigés
Corrigé 1. Comme (d1) est parallèle à (d2), les angles correspondants sont égaux. L’angle en B mesure donc aussi 65°.
Corrigé 2. Comme (d1) est parallèle à (d2), les angles alternes-internes sont égaux. On a donc x = 48°.
Corrigé 3. Les deux angles correspondants sont égaux (72° = 72°). D’après la réciproque de la propriété des angles correspondants, on peut conclure que (d1) et (d2) sont parallèles.
Corrigé 4. Les deux angles correspondants ne sont pas égaux (55° ≠ 60°). On ne peut donc pas conclure que (d1) et (d2) sont parallèles : elles ne le sont pas.
Corrigé 5. Comme les droites sont parallèles, les angles correspondants sont égaux : 3x + 10 = 5x − 20. On résout : 10 + 20 = 5x − 3x, donc 30 = 2x, d’où x = 15. Chaque angle mesure alors 3 × 15 + 10 = 55°.
