I. Angle inscrit et angle au centre
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés passent par deux autres points du cercle.
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. On dit qu’un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc lorsqu’ils s’appuient sur les mêmes extrémités de cet arc.
II. Relation entre angle inscrit et angle au centre
Théorème : un angle au centre mesure le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc.Exemple : si l’angle inscrit mesure 35°, l’angle au centre correspondant mesure 70°.
III. Angles inscrits interceptant le même arc
Conséquence : deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.Exercices
- Un angle inscrit dans un cercle mesure 40°. Quelle est la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc ?
- Un angle au centre mesure 130°. Quelle est la mesure de l’angle inscrit correspondant ?
- Deux angles inscrits BAC et BDC interceptent le même arc BC. Sachant que l’angle BAC mesure 52°, que vaut l’angle BDC ?
- Retrouver, à l’aide du théorème de l’angle inscrit, pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle (angle au centre = 180°).
- Un angle au centre intercepte un arc de 90°. Que peut-on dire de tout angle inscrit interceptant ce même arc ?
Corrigés
- L’angle au centre mesure le double : 2 × 40° = 80°.
- L’angle inscrit mesure la moitié : 130° ÷ 2 = 65°.
- Les deux angles interceptent le même arc, donc ils sont égaux : l’angle BDC mesure aussi 52°.
- Si le côté du triangle est un diamètre, l’angle au centre associé mesure 180° (angle plat) ; l’angle inscrit correspondant mesure donc 180° ÷ 2 = 90°, ce qui prouve que le triangle est rectangle.
- Tout angle inscrit interceptant cet arc de 90° (donc dont l’angle au centre associé mesure 90°) mesure 90° ÷ 2 = 45°.
