Le barycentre généralise la notion de milieu à un système de points pondérés (affectés de coefficients), et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes d’alignement et de concours de droites.
Barycentre de deux points pondérés
Soient A et B deux points et α,β deux réels tels que α+β≠0. Le barycentre G du système {(A,α);(B,β)} est l’unique point vérifiant : α·GA⃗ + β·GB⃗ = 0⃗. Si α=β, G est le milieu de [AB] (barycentre appelé isobarycentre).
Barycentre de trois points pondérés
Soient A, B, C trois points et α,β,γ des réels tels que α+β+γ≠0. Le barycentre G du système {(A,α);(B,β);(C,γ)} vérifie : α·GA⃗+β·GB⃗+γ·GC⃗=0⃗. Il existe et est unique dès que la somme des coefficients est non nulle.
Propriété fondamentale (réduction vectorielle)
Pour tout point M du plan, si G est le barycentre de {(A,α);(B,β)} avec α+β≠0, alors : α·MA⃗+β·MB⃗ = (α+β)·MG⃗. Cette relation permet de simplifier de nombreuses expressions vectorielles.
Homogénéité et associativité (barycentre partiel)
Homogénéité : le barycentre de {(A,α);(B,β)} est identique au barycentre de {(A,kα);(B,kβ)} pour tout k≠0 (les coefficients peuvent être multipliés par un même réel non nul). Associativité (barycentre partiel) : dans un système de 3 points pondérés, on peut remplacer deux points par leur barycentre partiel (affecté de la somme de leurs coefficients), à condition que celle-ci soit non nulle.
Exercices
Exercice 1 — Soient A et B deux points. Déterminer la nature du barycentre G de {(A,1);(B,1)}
Exercice 2 — Soient A et B deux points. Placer le barycentre G de {(A,3);(B,1)} en le caractérisant vectoriellement
Exercice 3 — Soit G le barycentre de {(A,2);(B,3)}. Exprimer GA⃗ en fonction de AB⃗
Exercice 4 — Montrer que pour tout point M, 2MA⃗+3MB⃗ = 5MG⃗ où G est le barycentre de {(A,2);(B,3)}
Exercice 5 — Soit G le barycentre de {(A,1);(B,1);(C,1)}. Quelle est la nature particulière de ce point ?
Exercice 6 — En utilisant l’associativité, simplifier la recherche du barycentre de {(A,1);(B,1);(C,2)} en passant par le milieu de [AB]
Exercice 7 — Les points A, B, C ne sont pas alignés. Le barycentre G de {(A,1);(B,2);(C,3)} peut-il être un point du plan quelconque ou est-il unique ? Justifier
Corrigés
Corrigé 1 — G est le milieu de [AB], car les coefficients sont égaux (isobarycentre)
Corrigé 2 — G vérifie 3GA⃗+GB⃗=0⃗, soit GA⃗=-1/4·AB⃗, donc G est situé sur (AB) au quart à partir de A en direction de B
Corrigé 3 — GA⃗+GB⃗ ne s’obtient pas directement ainsi ; on utilise 2GA⃗+3GB⃗=0⃗, et GB⃗=GA⃗+AB⃗, d’où 2GA⃗+3(GA⃗+AB⃗)=0⃗, soit 5GA⃗=-3AB⃗, donc GA⃗=-3/5·AB⃗
Corrigé 4 — Par définition du barycentre G de {(A,2);(B,3)} avec 2+3=5≠0, la propriété de réduction donne directement 2MA⃗+3MB⃗=(2+3)MG⃗=5MG⃗ pour tout point M
Corrigé 5 — G est l’isobarycentre de A, B, C, c’est-à-dire le centre de gravité du triangle ABC
Corrigé 6 — Soit I le milieu de [AB] (barycentre de {(A,1);(B,1)}, coefficient total 2) ; par associativité, le barycentre de {(A,1);(B,1);(C,2)} est le barycentre de {(I,2);(C,2)}, soit le milieu de [IC]
Corrigé 7 — G est unique, car la somme des coefficients 1+2+3=6≠0 ; l’existence et l’unicité du barycentre sont garanties dès que cette somme est non nulle, quelle que soit la position de A, B, C (alignés ou non)
