Le barycentre est un outil fondamental de la géométrie affine qui permet de simplifier de nombreux calculs vectoriels et de démontrer élégamment des propriétés de concours de droites, d’alignement de points ou de lieux géométriques. Ce chapitre définit le barycentre d’un système de points pondérés, établit ses propriétés essentielles (homogénéité, associativité), donne les formules de calcul de ses coordonnées dans un repère, et présente des applications classiques comme le centre de gravité d’un triangle.
Barycentre de deux points pondérés : définition et existence
Soient A et B deux points du plan et α, β deux réels (les coefficients) tels que α+β ≠ 0. Le barycentre du système {(A,α),(B,β)} est l’unique point G vérifiant : α×GA→ + β×GB→ = 0→. Ce point existe et est unique dès que α+β≠0. Lorsque α=β, G est appelé isobarycentre (milieu) de A et B.
Exemple traité : Soit G le barycentre de {(A,2),(B,3)}. On a 2GA→+3GB→=0→. En écrivant GB→=GA→+AB→ : 2GA→+3(GA→+AB→)=0→, soit 5GA→+3AB→=0→, d’où GA→ = -(3/5)AB→, c’est-à-dire AG→ = (3/5)AB→. G est donc situé sur [AB], aux 3/5 de la distance de A vers B.
Propriétés du barycentre : homogénéité et réduction vectorielle
Homogénéité : pour tout k≠0, le barycentre de {(A,α),(B,β)} est le même que celui de {(A,kα),(B,kβ)}. Réduction vectorielle : pour tout point M, α×MA→ + β×MB→ = (α+β)×MG→, ce qui permet de calculer facilement des sommes vectorielles pondérées.
Exemple traité : Vérifions l’homogénéité : le système {(A,4),(B,6)} donne 4GA→+6GB→=0→, soit après division par 2 : 2GA→+3GB→=0→, la même relation que précédemment : on retrouve le même G. Utilisons la réduction vectorielle avec M=A : 2AA→+3AB→=(2+3)AG→, soit 0→+3AB→=5AG→, d’où AG→=(3/5)AB→, confirmant le résultat de la section précédente.
Barycentre de trois points ou plus, associativité (barycentre partiel)
La définition se généralise à n points pondérés A₁,…,An de coefficients α₁,…,αn tels que α₁+…+αn≠0. L’associativité (barycentre partiel) énonce que l’on peut remplacer un sous-groupe de points par leur propre barycentre, affecté de la somme de leurs coefficients (si celle-ci est non nulle), sans changer le barycentre global.
Exemple traité : Soit G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,2)}. Notons I le milieu de [AB], barycentre de {(A,1),(B,1)}, portant le coefficient 2. Par associativité, G est aussi le barycentre de {(I,2),(C,2)}, donc le milieu de [IC] (coefficients égaux). Pour construire G, il suffit donc de placer I au milieu de [AB], puis G au milieu de [IC].
Coordonnées du barycentre dans un repère
Dans un repère (O,i→,j→), si A(xA;yA) et B(xB;yB), le barycentre G de {(A,α),(B,β)} a pour coordonnées : xG = (α×xA+β×xB)/(α+β) et yG = (α×yA+β×yB)/(α+β).
Exemple traité : Soient A(1;2), B(7;-4), et G le barycentre de {(A,2),(B,3)}. xG = (2×1+3×7)/5 = 23/5 = 4,6. yG = (2×2+3×(-4))/5 = -8/5 = -1,6. G(4,6;-1,6). Vérification avec AG→=(3/5)AB→ : AB→(6;-6), donc (3/5)AB→=(3,6;-3,6), et AG→=(4,6-1;-1,6-2)=(3,6;-3,6) : cela correspond bien.
Applications du barycentre : centre de gravité et lignes de niveau
Le centre de gravité G d’un triangle ABC est l’isobarycentre des trois sommets : GA→+GB→+GC→=0→. Grâce à l’associativité, on démontre que G appartient à chacune des trois médianes, prouvant leur concours. Une autre application concerne les lignes de niveau : ‖αMA→+βMB→‖ se réduit à |α+β|×MG grâce à la relation de réduction, ramenant l’étude à un cercle centré en G.
Exemple traité : Soit ABC un triangle, G son centre de gravité, A’ le milieu de [BC]. Par associativité, G est le barycentre de {(A,1),(A’,2)}, donc AG→ = [2/(1+2)]AA’→ = (2/3)AA’→ : G appartient à la médiane [AA’], aux deux tiers en partant de A. Le même raisonnement avec les autres médianes montre qu’elles sont toutes concourantes en G.
Exercices
1. Soient A et B deux points du plan. Soit G le barycentre de {(A,1),(B,2)}. Exprimer AG→ en fonction de AB→.
2. Dans un repère (O,i→,j→), soient A(3;-1) et B(-2;4). Calculer les coordonnées du barycentre G de {(A,3),(B,2)}.
3. Soient A, B, C trois points et G l’isobarycentre de {(A,1),(B,1),(C,1)}. Écrire la relation vectorielle caractérisant G, puis exprimer AG→ en fonction de AB→ et AC→.
4. Soit ABC un triangle avec A(0;0), B(6;0), C(0;9). Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle.
5. Soient A et B deux points distincts. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que ‖2MA→+3MB→‖ = 15, en introduisant le barycentre G de {(A,2),(B,3)}.
6. Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. Montrer, en utilisant l’associativité du barycentre, que le milieu K de [IJ] est l’isobarycentre des quatre points A, B, C, D.
7. (Synthèse) Soit ABC un triangle et G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,2)}. a) En utilisant l’associativité, montrer que G appartient à (CI), où I est le milieu de [AB], et préciser le rapport CG/CI. b) Calculer les coordonnées de G lorsque A(2;1), B(6;1), C(4;7).
Corrigés
1. G est le barycentre de {(A,1),(B,2)} : 1×GA→+2×GB→=0→. Avec GB→=GA→+AB→ : GA→+2(GA→+AB→)=0→, soit 3GA→+2AB→=0→, d’où GA→=-(2/3)AB→, donc AG→ = (2/3)AB→.
2. xG = (3×3+2×(-2))/(3+2) = (9-4)/5 = 1. yG = (3×(-1)+2×4)/5 = (-3+8)/5 = 1. Donc G(1;1).
3. Relation : GA→+GB→+GC→=0→. En exprimant GB→=GA→+AB→ et GC→=GA→+AC→ : GA→+(GA→+AB→)+(GA→+AC→)=0→, soit 3GA→+AB→+AC→=0→, d’où GA→=-(1/3)(AB→+AC→), donc AG→ = (1/3)AB→ + (1/3)AC→.
4. xG = (0+6+0)/3 = 2. yG = (0+0+9)/3 = 3. Donc G(2;3).
5. G est le barycentre de {(A,2),(B,3)}, avec 2+3=5≠0. D’après la relation de réduction, pour tout point M : 2MA→+3MB→ = 5MG→. Donc ‖2MA→+3MB→‖ = 5×MG. L’équation devient 5×MG = 15, soit MG = 3. L’ensemble cherché est le cercle de centre G (barycentre de {(A,2),(B,3)}) et de rayon 3.
6. I, milieu de [AB], est le barycentre de {(A,1),(B,1)}, portant le coefficient 2 (=1+1). J, milieu de [CD], est le barycentre de {(C,1),(D,1)}, portant le coefficient 2. Par associativité, l’isobarycentre L de {(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)} est égal au barycentre de {(I,2),(J,2)}. Les coefficients de I et J étant égaux, ce barycentre est le milieu de [IJ], c’est-à-dire K. Donc L=K : le milieu K de [IJ] est bien l’isobarycentre des quatre points A, B, C, D.
7. a) I, milieu de [AB], est le barycentre de {(A,1),(B,1)}, portant le coefficient 2 (=1+1). Par associativité, G (barycentre de {(A,1),(B,1),(C,2)}) est aussi le barycentre de {(I,2),(C,2)}. Les coefficients de I et C étant égaux, G est le milieu de [IC] : G appartient à (CI), avec CG/CI = 1/2. b) Coefficients 1, 1, 2 (somme = 4). xG = (1×2+1×6+2×4)/4 = (2+6+8)/4 = 4. yG = (1×1+1×1+2×7)/4 = (1+1+14)/4 = 4. Donc G(4;4). Vérification avec la partie a : I, milieu de [AB], vaut ((2+6)/2;(1+1)/2)=(4;1) ; G, milieu de [IC], vaut ((4+4)/2;(1+7)/2)=(4;4), ce qui confirme le résultat.
