I. Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Propriété caractéristique : un point de la bissectrice d’un angle est équidistant des deux côtés de cet angle.Construction au compas : on trace un arc de cercle centré au sommet qui coupe les deux côtés de l’angle, puis deux arcs de même rayon centrés sur ces points d’intersection ; leur point d’intersection, relié au sommet, donne la bissectrice.
II. Bissectrices d’un triangle
Dans un triangle, les trois bissectrices des angles sont concourantes (elles se coupent en un même point) : ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle, équidistant des trois côtés.
III. Hauteur d’un triangle
Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Un triangle possède trois hauteurs, une pour chaque sommet.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes ; leur point d’intersection est appelé orthocentre du triangle.
Exercices
- Tracer un angle de sommet O, puis construire sa bissectrice au compas.
- Tracer un triangle ABC quelconque, puis construire la hauteur issue de A.
- Tracer un triangle ABC, puis construire ses trois bissectrices. Que remarque-t-on ?
- Dans un triangle rectangle en A, où se situent deux des trois hauteurs ? Justifier.
- M appartient à la bissectrice d’un angle de sommet O. Que peut-on dire des distances de M aux deux côtés de l’angle ?
Corrigés
- On trace un arc centré en O coupant les deux côtés, puis deux arcs de même rayon depuis ces points ; la demi-droite [O vers leur intersection) est la bissectrice.
- On trace la droite passant par A et perpendiculaire à (BC), à l’aide de l’équerre.
- Les trois bissectrices se coupent en un même point, centre du cercle inscrit dans le triangle.
- Dans un triangle rectangle en A, les côtés [AB] et [AC] sont déjà perpendiculaires : les hauteurs issues de B et de C sont donc portées par les côtés [AB] et [AC] eux-mêmes.
- M est équidistante des deux côtés de l’angle : sa distance au premier côté est égale à sa distance au second côté.
