I. Qu’est-ce qu’une expression littérale ?
En calcul littéral, on utilise des lettres (x, a, b, n…) pour représenter des nombres inconnus ou variables. Une expression littérale est une expression mathématique contenant au moins une lettre, par exemple 3x + 2 ou 5a − 7. Chaque terme séparé par + ou − s’appelle un terme de l’expression.
II. Réduire une expression littérale
Réduire une expression, c’est regrouper les termes semblables (les termes qui contiennent la même lettre à la même puissance, et séparément les nombres seuls) pour obtenir une écriture plus simple. Par exemple, 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4.
III. Développer une expression littérale
Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme, en utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition. Pour un facteur commun k : k(a + b) = k × a + k × b. Pour deux parenthèses (double distributivité) : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Par exemple, 3(x + 4) = 3x + 12, et (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
IV. Factoriser une expression littérale
Factoriser une expression, c’est l’opération inverse du développement : transformer une somme en un produit, en mettant en évidence un facteur commun. Si tous les termes contiennent le facteur k, alors k × a + k × b = k(a + b). Par exemple, 5x + 35 = 5(x + 7), et 2x + 6 = 2(x + 3).
V. Calculer la valeur d’une expression littérale
Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale, on remplace chaque lettre par la valeur donnée, puis on effectue les calculs en respectant les priorités opératoires. Par exemple, pour l’expression 2x + 3 avec x = 5, on obtient 2 × 5 + 3 = 13.
Exercices
Exercice 1 : Réduire les expressions suivantes : a) 4x + 3 + 2x b) 7a − 2a + 5 c) 3x + 5x − 4 + 1 d) 6y − 2y + 3y
Exercice 2 : Développer les expressions suivantes : a) 4(x + 3) b) 2(3x − 5) c) (x + 1)(x + 4) d) (x − 2)(x + 5)
Exercice 3 : Factoriser les expressions suivantes : a) 7x + 7 × 3 b) 6x + 18 c) 9x − 9 d) 4x + 4y
Exercice 4 : Calculer la valeur de l’expression E = 3x − 2 pour : a) x = 4 b) x = 0 c) x = −1
Exercice 5 : Un rectangle a pour longueur (x + 3) et pour largeur x. Écrire une expression littérale de son périmètre, puis la réduire.
Corrigés
Corrigé 1 : a) 4x + 3 + 2x = 6x + 3 b) 7a − 2a + 5 = 5a + 5 c) 3x + 5x − 4 + 1 = 8x − 3 d) 6y − 2y + 3y = 7y
Corrigé 2 : a) 4(x + 3) = 4x + 12 b) 2(3x − 5) = 6x − 10 c) (x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4 d) (x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10
Corrigé 3 : a) 7x + 21 = 7(x + 3) b) 6x + 18 = 6(x + 3) c) 9x − 9 = 9(x − 1) d) 4x + 4y = 4(x + y)
Corrigé 4 : E = 3x − 2 : a) x = 4 → E = 3×4−2 = 10 b) x = 0 → E = −2 c) x = −1 → E = 3×(−1)−2 = −5
Corrigé 5 : Périmètre = 2 × [(x + 3) + x] = 2 × (2x + 3) = 4x + 6
