I. Développer une expression littérale
Développer une expression, c’est la transformer en une somme (ou différence) de termes, en utilisant la distributivité.
Pour un seul facteur : k(a + b) = ka + kb.
Pour deux facteurs (double distributivité) : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Exemple : (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
II. Première identité remarquable : le carré d’une somme
En développant (a + b)² = (a + b)(a + b), on obtient a² + 2ab + b². On peut le visualiser géométriquement grâce à l’aire d’un carré de côté (a + b).
III. Les trois identités remarquables
Il existe trois identités remarquables à connaître par cœur, car elles permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions courantes.
IV. Utiliser les identités remarquables pour développer
Exemple 1 : (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9.
Exemple 2 : (2x – 1)² = (2x)² – 2 × 2x × 1 + 1² = 4x² – 4x + 1.
Exemple 3 : (x + 7)(x – 7) = x² – 7² = x² – 49.
V. Factoriser avec les identités remarquables
Factoriser, c’est transformer une somme (ou différence) en un produit. Lorsqu’une expression a la forme a² + 2ab + b², a² – 2ab + b² ou a² – b², on peut la factoriser en reconnaissant l’identité remarquable correspondante.
Exemple : x² – 9 = x² – 3² = (x – 3)(x + 3).
Exercices
Exercice 1. Développer : (x + 4)².
Exercice 2. Développer : (3x – 2)².
Exercice 3. Développer : (x + 6)(x – 6).
Exercice 4. Factoriser : x² – 25.
Exercice 5. Factoriser : x² + 10x + 25.
Corrigés
Corrigé 1. (x + 4)² = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16.
Corrigé 2. (3x – 2)² = (3x)² – 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² – 12x + 4.
Corrigé 3. (x + 6)(x – 6) = x² – 6² = x² – 36.
Corrigé 4. x² – 25 = x² – 5² = (x – 5)(x + 5).
Corrigé 5. x² + 10x + 25 = x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)².
