Après l’étude des circuits électriques en courant continu, la filière Sciences Mathématiques introduit une nouvelle branche de la physique : l’électrostatique, qui étudie les interactions entre charges électriques immobiles. Ce chapitre établit la loi de Coulomb, qui décrit quantitativement la force d’interaction entre deux charges ponctuelles, puis introduit la notion de champ électrostatique, grandeur vectorielle qui permet de décrire l’effet d’une charge (ou d’un ensemble de charges) en tout point de l’espace, indépendamment de la présence d’une charge test. On étudie également le champ uniforme créé entre les plaques d’un condensateur plan, configuration fondamentale qui sera réutilisée dans le chapitre suivant.
Loi de Coulomb
Deux charges électriques ponctuelles qA et qB, immobiles, séparées par une distance r, exercent l’une sur l’autre une force d’interaction électrique appelée force de Coulomb. Cette force est décrite par la loi de Coulomb, énoncée par Charles-Augustin de Coulomb à la fin du XVIIIe siècle :
F = k × |qA × qB| ÷ r²
où F est l’intensité de la force (en newton, N), qA et qB les valeurs algébriques des charges (en coulomb, C), r la distance séparant les deux charges (en mètre, m), et k une constante appelée constante de Coulomb, dont la valeur dans le vide (et, en très bonne approximation, dans l’air) est :
k = 9×109 N·m²·C−2
Cette force est portée par la droite joignant les deux charges. Si les deux charges sont de même signe (toutes deux positives ou toutes deux négatives), la force est répulsive. Si les charges sont de signes opposés, la force est attractive. D’après le principe des actions réciproques, la force exercée par A sur B est directement opposée à la force exercée par B sur A : FA→B = − FB→A.
On remarque que l’intensité de la force diminue rapidement lorsque la distance augmente (elle est inversement proportionnelle au carré de la distance) : F ∝ 1 ÷ r². Doubler la distance entre les charges divise ainsi l’intensité de la force par 4.
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Pour décrire l’effet d’une charge électrique sur l’espace qui l’entoure, indépendamment de la présence d’une éventuelle charge « test », on introduit la notion de champ électrostatique. Une charge ponctuelle q crée en tout point de l’espace un vecteur champ électrostatique E, tel que si l’on place en ce point une charge test q0, celle-ci subit une force électrique :
F = q0 × E
Le champ électrostatique s’exprime donc par E = F ÷ q0, en volt par mètre (V·m−1), unité équivalente au newton par coulomb (N·C−1).
Une charge ponctuelle Q crée, en un point M situé à une distance r d’elle, un champ électrostatique dont l’intensité vaut :
E = k × |Q| ÷ r²
Le vecteur champ E créé par Q au point M est porté par la droite (QM) : si Q est positive, le vecteur champ est dirigé vers l’extérieur, en s’éloignant de la charge ; si Q est négative, le vecteur champ est dirigé vers la charge. Comme pour la force de Coulomb, l’intensité du champ décroît en 1 ÷ r² lorsqu’on s’éloigne de la charge source.
On vérifie la cohérence entre la loi de Coulomb et la définition du champ : la force subie par une charge test q0 placée à la distance r d’une charge Q vaut F = |q0| × E = |q0| × k × |Q| ÷ r² = k × |q0 × Q| ÷ r², ce qui redonne exactement la loi de Coulomb.
Principe de superposition
Lorsque plusieurs charges ponctuelles Q1, Q2, …, Qn sont présentes simultanément, le champ électrostatique résultant en un point M de l’espace est donné par le principe de superposition : le champ total créé en M est la somme vectorielle des champs que créerait chaque charge si elle était seule présente :
Etotal = E1 + E2 + … + En
Ce principe, qui découle du caractère linéaire des équations de l’électrostatique, permet de calculer le champ créé par une distribution complexe de charges en additionnant vectoriellement les contributions de chaque charge individuelle, chacune calculée avec la formule E = k × |Q| ÷ r² et orientée selon la règle vue précédemment.
Dans le cas particulier où deux charges et le point M sont alignés, l’addition vectorielle se simplifie en une addition algébrique le long de la droite support : les deux champs s’ajoutent si leurs vecteurs sont de même sens, ou se retranchent s’ils sont de sens opposé. Dans le cas général (charges non alignées avec M), il faut décomposer chaque vecteur champ sur des axes de coordonnées avant de sommer les composantes, puis recomposer le vecteur résultant, par exemple à l’aide du théorème de Pythagore si les deux champs élémentaires sont perpendiculaires entre eux.
Champ uniforme entre les plaques d’un condensateur plan
Un condensateur plan est constitué de deux plaques planes conductrices, parallèles entre elles, séparées par une distance d très petite devant leurs dimensions, et portant des charges électriques opposées (+Q sur une plaque, −Q sur l’autre). Entre les deux plaques (en dehors des effets de bord, négligés dans le cadre du programme), le champ électrostatique créé est uniforme : il a, en tout point de l’espace entre les plaques, la même direction, le même sens et la même intensité.
Les vecteurs champ sont perpendiculaires aux plaques, dirigés de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement. Si l’on applique entre les deux plaques une tension (différence de potentiel) U (en volt, V), l’intensité du champ électrostatique uniforme régnant entre elles vaut :
E = U ÷ d
où d est la distance séparant les deux plaques (en mètre, m) et E s’exprime alors en volt par mètre (V·m−1), ce qui confirme l’unité déjà mentionnée pour le champ électrostatique. Cette configuration de champ uniforme, simple mais fondamentale, est très largement utilisée en physique (déviation de particules chargées, tubes cathodiques, accélérateurs de particules) et servira de cadre à l’étude de l’énergie potentielle électrique dans le chapitre suivant.
Lignes de champ
On représente graphiquement un champ électrostatique à l’aide de lignes de champ : ce sont des courbes orientées telles qu’en chacun de leurs points, le vecteur champ électrostatique E est tangent à la ligne et de même sens que son orientation. Les lignes de champ permettent de visualiser rapidement la structure spatiale d’un champ électrostatique.
Pour une charge ponctuelle positive isolée, les lignes de champ sont des demi-droites radiales, dirigées de la charge vers l’infini (le champ « diverge » de la charge). Pour une charge ponctuelle négative isolée, les lignes de champ sont également radiales mais orientées en sens inverse, de l’infini vers la charge (le champ « converge » vers la charge). Pour un ensemble de deux charges opposées (dipôle), les lignes de champ partent de la charge positive et arrivent sur la charge négative, en se courbant dans l’espace qui les sépare.
Dans le cas particulier du champ uniforme entre les plaques d’un condensateur plan, les lignes de champ sont des segments de droites parallèles, équidistantes, perpendiculaires aux plaques et orientées de la plaque positive vers la plaque négative — ce qui traduit précisément le caractère uniforme du champ. Deux lignes de champ ne se croisent jamais : en un point donné de l’espace, le vecteur champ électrostatique est unique, donc une seule ligne de champ peut y passer.
Exercice d’application
1. Exercice 1 : Deux charges ponctuelles qA = +4,0 μC et qB = −2,0 μC sont séparées d’une distance r = 30 cm dans l’air. Calculer l’intensité de la force électrique F entre elles. Préciser si cette force est attractive ou répulsive.
2. Exercice 2 : Une charge ponctuelle Q = +5,0 μC crée un champ électrostatique en un point M situé à une distance r = 20 cm. Calculer l’intensité E du champ électrostatique en M, et préciser son orientation par rapport à Q.
3. Exercice 3 : Deux charges identiques q1 = q2 = +3,0 μC sont placées respectivement aux points A et B, distants de 40 cm. Déterminer le champ électrostatique résultant au point M, milieu du segment [AB]. Justifier soigneusement.
4. Exercice 4 : Les plaques d’un condensateur plan sont séparées d’une distance d = 5,0 mm et soumises à une tension U = 250 V. Calculer l’intensité E du champ électrostatique uniforme entre les plaques.
5. Exercice 5 : Dans un condensateur plan, la distance entre les plaques est d = 2,0 cm et le champ électrostatique uniforme mesuré entre elles vaut E = 1,5×104 V·m−1. Calculer la tension U appliquée entre les plaques.
6. Exercice 6 : Une charge Q1 = +6,0 μC est placée en un point A, et une charge Q2 = −6,0 μC en un point B, avec AB = 50 cm. Calculer l’intensité du champ électrostatique créé par chaque charge au point M, milieu de [AB], puis déterminer, en justifiant les directions, l’intensité et le sens du champ résultant en M.
7. Exercice 7 : Une charge test q0 = +1,0×10−9 C est placée dans un champ électrostatique uniforme d’intensité E = 2,0×104 V·m−1. Calculer l’intensité de la force électrique F subie par cette charge. Si la charge test était négative, de même valeur absolue, comment évoluerait le sens de la force par rapport à celui du champ E ?
Corrigés
Réponse 1 :
Corrigé 1 : D’après la loi de Coulomb : F = k × |qA × qB| ÷ r² = 9×109 × (4,0×10−6 × 2,0×10−6) ÷ (0,30)². Calcul du numérateur : 4,0×10−6 × 2,0×10−6 = 8,0×10−12 ; 9×109 × 8,0×10−12 = 0,072. Le dénominateur vaut 0,30² = 0,09 m². Donc F = 0,072 ÷ 0,09 = 0,80 N. Les deux charges étant de signes opposés (l’une positive, l’autre négative), la force est attractive.
Réponse 2 :
Corrigé 2 : E = k × |Q| ÷ r² = 9×109 × 5,0×10−6 ÷ (0,20)². Numérateur : 9×109 × 5,0×10−6 = 4,5×104. Dénominateur : 0,20² = 0,04 m². Donc E = 4,5×104 ÷ 0,04 = 1,125×106 V·m−1, soit E ≈ 1,1×106 V·m−1. La charge Q étant positive, le vecteur champ en M est dirigé radialement, en s’éloignant de Q (vers l’extérieur).
Réponse 3 :
Corrigé 3 : Au point M, milieu de [AB], la distance à chacune des charges est la même : r = AB ÷ 2 = 0,40 ÷ 2 = 0,20 m. Les deux charges étant identiques (+3,0 μC), les intensités des deux champs élémentaires E1 (créé par q1 en A) et E2 (créé par q2 en B) sont égales : E1 = E2 = k × |q| ÷ r². Or, q1 étant positive, E1 est dirigé de A vers M, c’est-à-dire de A vers B ; q2 étant également positive, E2 est dirigé de B vers M, c’est-à-dire de B vers A. Les deux vecteurs champs sont donc de même intensité mais de sens strictement opposés au point M : ils s’annulent exactement d’après le principe de superposition. Le champ résultant en M est donc nul : Etotal = 0.
Réponse 4 :
Corrigé 4 : E = U ÷ d = 250 ÷ 5,0×10−3 = 50 000 V·m−1, soit E = 5,0×104 V·m−1.
Réponse 5 :
Corrigé 5 : U = E × d = 1,5×104 × 2,0×10−2 = 300 V.
Réponse 6 :
Corrigé 6 : La distance de M (milieu de [AB]) à chaque charge est r = AB ÷ 2 = 0,50 ÷ 2 = 0,25 m. Intensité créée par Q1 en M : E1 = k × |Q1| ÷ r² = 9×109 × 6,0×10−6 ÷ (0,25)² = 5,4×104 ÷ 0,0625 = 8,64×105 V·m−1. Q1 étant positive, E1 est dirigé de A vers M, donc dans le sens de A vers B. Intensité créée par Q2 en M : par symétrie des valeurs absolues (|Q2| = |Q1| = 6,0 μC et même distance r), E2 = 8,64×105 V·m−1. Q2 étant négative, le champ qu’elle crée en M est dirigé vers elle, donc de M vers B, ce qui correspond également au sens de A vers B. Les deux champs élémentaires sont donc colinéaires et de même sens (situation classique du dipôle électrique) : ils s’ajoutent. Le champ résultant a pour intensité Etotal = E1 + E2 = 2 × 8,64×105 = 1,728×106 V·m−1 ≈ 1,73×106 V·m−1, dirigé de A vers B (de la charge positive vers la charge négative).
Réponse 7 :
Corrigé 7 : F = q0 × E = 1,0×10−9 × 2,0×104 = 2,0×10−5 N. La charge étant positive, cette force est dans le même sens que le champ E. Si la charge test était négative, de même valeur absolue (q0 = −1,0×10−9 C), l’intensité de la force resterait identique (2,0×10−5 N), mais son sens serait opposé à celui du champ E, conformément à la relation vectorielle F = q0 × E.
