La dérivation prolonge l’étude des limites : le nombre dérivé mesure la variation instantanée d’une fonction en un point, et la fonction dérivée permet d’étudier le sens de variation, les extremums et de tracer la tangente à une courbe.
Nombre dérivé et tangente
Taux de variation. Pour une fonction f définie au voisinage de x₀, le taux de variation entre x₀ et x₀+h (h ≠ 0) est T(h) = [f(x₀+h) − f(x₀)] / h.
Nombre dérivé. On dit que f est dérivable en x₀ si T(h) admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en x₀, notée f′(x₀) : f′(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)]/h.
Exemple : Pour f(x) = x², au point x₀ : T(h) = [(x₀+h)² − x₀²]/h = [2x₀h + h²]/h = 2x₀ + h → 2x₀ quand h→0. Donc f′(x₀) = 2x₀.
Interprétation géométrique. Si f est dérivable en x₀, la courbe de f admet en son point d’abscisse x₀ une tangente de coefficient directeur f′(x₀), d’équation : y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Fonction dérivée et dérivées usuelles
Si f est dérivable en tout point d’un intervalle I, on définit la fonction dérivée f′ sur I. Dérivées des fonctions de référence :
| Fonction f | Dérivée f′ |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | f′(x) = 0 |
| f(x) = x | f′(x) = 1 |
| f(x) = xⁿ (n entier ≥ 1) | f′(x) = n xⁿ⁻¹ |
| f(x) = √x (x > 0) | f′(x) = 1/(2√x) |
| f(x) = 1/x (x ≠ 0) | f′(x) = −1/x² |
| f(x) = sin x | f′(x) = cos x |
| f(x) = cos x | f′(x) = −sin x |
Opérations sur les dérivées
Si u et v sont dérivables sur un intervalle I : (u + v)′ = u′ + v′ ; (u × v)′ = u′v + uv′ ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² (là où v ne s’annule pas) ; pour k réel, (ku)′ = ku′.
Dérivée d’une fonction composée usuelle. Pour u dérivable et n entier ≥ 1 : (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹. Plus généralement, si f(x) = u(ax+b), alors f′(x) = a × u′(ax+b).
Exemple : f(x) = (2x + 1)³. On pose u(x) = 2x+1, u′(x) = 2. f′(x) = 3 × u′(x) × u(x)² = 3 × 2 × (2x+1)² = 6(2x+1)².
Dérivée et sens de variation
Théorème. Soit f dérivable sur un intervalle I. Si f′(x) > 0 sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de points où f′ s’annule), alors f est strictement croissante sur I. Si f′(x) < 0 sur I, f est strictement décroissante sur I. Si f′(x) = 0 sur I, f est constante sur I.
Extremums locaux. Si f′ s’annule en x₀ en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x₀, de valeur f(x₀).
Exemple : f(x) = x³ − 3x. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), qui s’annule en x = −1 et x = 1, positive à l’extérieur de [−1,1] et négative à l’intérieur. Donc f est croissante sur ]−∞,−1], décroissante sur [−1,1], croissante sur [1,+∞[. Maximum local en x = −1 : f(−1) = 2. Minimum local en x = 1 : f(1) = −2.
Exercices
Exercice 1 — À l’aide du taux de variation, calculer le nombre dérivé de f(x) = x² − 2x en x₀ = 3.
Exercice 2 — Déterminer la fonction dérivée de f(x) = 3x⁴ − 2x³ + x − 5.
Exercice 3 — Déterminer la fonction dérivée de f(x) = (2x − 1)(x² + 3).
Exercice 4 — Déterminer la fonction dérivée de f(x) = (x + 1)/(x − 2), pour x ≠ 2.
Exercice 5 — Déterminer la fonction dérivée de f(x) = (3x + 2)⁴.
Exercice 6 — Écrire une équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² − 3x + 1 au point d’abscisse x₀ = 2.
Exercice 7 — Étudier le sens de variation de f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ et déterminer ses extremums locaux.
Corrigés
Corrigé 1 — f(3) = 9 − 6 = 3 ; f(3+h) = 3 + 4h + h². T(h) = (4h + h²)/h = 4 + h → 4 quand h→0. Donc f′(3) = 4.
Corrigé 2 — f′(x) = 12x³ − 6x² + 1.
Corrigé 3 — Avec u = 2x−1, u′ = 2, v = x²+3, v′ = 2x : f′(x) = u′v + uv′ = 2(x²+3) + (2x−1)(2x) = 6x² − 2x + 6.
Corrigé 4 — Avec u = x+1, u′ = 1, v = x−2, v′ = 1 : f′(x) = (u′v − uv′)/v² = [(x−2) − (x+1)]/(x−2)² = −3/(x−2)².
Corrigé 5 — Avec u(x) = 3x+2, u′(x) = 3 : f′(x) = 4 × 3 × (3x+2)³ = 12(3x+2)³.
Corrigé 6 — f(2) = 4 − 6 + 1 = −1. f′(x) = 2x − 3, donc f′(2) = 1. Équation de la tangente : y = 1×(x − 2) + (−1) = x − 3.
Corrigé 7 — f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), qui s’annule en x = 0 et x = 2, positive à l’extérieur de [0,2] et négative à l’intérieur. f est croissante sur ]−∞,0], décroissante sur [0,2], croissante sur [2,+∞[. Maximum local en x = 0 : f(0) = 2. Minimum local en x = 2 : f(2) = −2.
