Développement et factorisation – Cours et exercices (1AC)

I. La distributivité simple

Pour tous nombres a, b et k : k × (a + b) = k×a + k×b et k × (a − b) = k×a − k×b.

Cette propriété s’appelle la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (ou à la soustraction).

II. Développer une expression

Développer, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence), en utilisant la distributivité.

Exemple : 5 × (x + 3) = 5×x + 5×3 = 5x + 15.

Autre exemple : 4 × (2x − 7) = 8x − 28.

III. Factoriser une expression

Factoriser, c’est l’opération inverse : transformer une somme (ou une différence) en un produit, en mettant en évidence un facteur commun.

Exemple : 6x + 6×5 = 6×(x + 5). Ici 6 est le facteur commun.

Autre exemple : 3x + 9 = 3×(x + 3), car 9 = 3×3.

Exercices

1. Développer : a) 3 × (x + 4) b) 7 × (2x − 5) c) x × (x + 6)
2. Développer : a) 2 × (a + b − 3) b) 5 × (3x − 1)
3. Factoriser en identifiant le facteur commun : a) 4x + 4×7 b) 9x + 9y c) 5x − 5×3
4. Factoriser : a) 7x + 14 b) 6x − 18
5. Un rectangle a pour largeur x et pour longueur (x + 5). Exprimer son périmètre sous forme développée, puis sous forme factorisée.

Corrigés

1. a) 3x + 12 b) 14x − 35 c) x² + 6x
2. a) 2a + 2b − 6 b) 15x − 5
3. a) 4×(x + 7) b) 9×(x + y) c) 5×(x − 3)
4. a) 7×(x + 2) b) 6×(x − 3)
5. Périmètre = 2×x + 2×(x+5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10 (forme développée) = 2×(2x + 5) (forme factorisée).