I. La médiatrice d’un segment et le cercle circonscrit
Rappel : la médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu. Tout point de la médiatrice est à égale distance de A et de B.
Dans un triangle ABC, les trois médiatrices des côtés se coupent en un même point O, appelé centre du cercle circonscrit au triangle.
Ce point O est à égale distance des trois sommets : OA = OB = OC = R, le rayon du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets A, B et C.
II. La bissectrice d’un angle et le cercle inscrit
Rappel : la bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Tout point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l’angle.
Dans un triangle, les trois bissectrices des angles se coupent en un même point I, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.
Ce point I est à égale distance des trois côtés du triangle. Le cercle de centre I et de ce rayon est tangent aux trois côtés du triangle : c’est le cercle inscrit.
III. La médiane d’un triangle et le centre de gravité
Une médiane d’un triangle est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point G, appelé centre de gravité du triangle.
Propriété importante : le centre de gravité se situe aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Par exemple, si I est le milieu de [BC], alors AG = (2/3) AI.
IV. La hauteur d’un triangle et l’orthocentre
Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point H, appelé orthocentre du triangle.
Remarque : selon la forme du triangle, l’orthocentre peut être situé à l’intérieur du triangle (triangle acutangle, aux trois angles aigus), sur un sommet (triangle rectangle, au sommet de l’angle droit), ou à l’extérieur du triangle (triangle obtusangle, ayant un angle obtus).
V. Résumé des droites remarquables
Les médiatrices des côtés d’un triangle se coupent au point O, centre du cercle circonscrit (qui passe par les trois sommets).
Les bissectrices des angles d’un triangle se coupent au point I, centre du cercle inscrit (tangent aux trois côtés).
Les médianes d’un triangle se coupent au point G, le centre de gravité (situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet).
Les hauteurs d’un triangle se coupent au point H, l’orthocentre (à l’intérieur, sur un sommet ou à l’extérieur du triangle selon sa forme).
Exercices
Exercice 1 — Tracer un triangle ABC. Construire les trois médiatrices de ses côtés et vérifier qu’elles se coupent en un même point O. Tracer le cercle circonscrit au triangle.
Exercice 2 — Dans un triangle ABC, I est le milieu de [BC] et G est le centre de gravité du triangle. Sachant que AI = 9 cm, calculer AG puis GI.
Exercice 3 — Tracer un triangle et ses trois hauteurs. Dans quel cas l’orthocentre se trouve-t-il à l’intérieur du triangle ? Sur un sommet du triangle ? À l’extérieur du triangle ?
Exercice 4 — Un point O est tel que OA = OB = OC = 5 cm pour un triangle ABC donné. Que représente le point O pour ce triangle ? Justifier votre réponse.
Exercice 5 — Vrai ou faux (justifier chaque réponse) : a) Le centre de gravité d’un triangle est toujours situé à l’intérieur du triangle. b) L’orthocentre d’un triangle est toujours situé à l’intérieur du triangle.
Corrigés
Corrigé 1 — Les médiatrices des trois côtés se coupent bien en un même point O (propriété du cours), équidistant des trois sommets. Le cercle de centre O et de rayon OA (= OB = OC) est le cercle circonscrit : il passe par A, B et C.
Corrigé 2 — G est situé aux deux tiers de la médiane [AI] en partant du sommet A, donc AG = (2/3) × AI = (2/3) × 9 = 6 cm. Comme AI = AG + GI, on a GI = AI − AG = 9 − 6 = 3 cm.
Corrigé 3 — L’orthocentre est à l’intérieur du triangle lorsque celui-ci est acutangle (tous les angles aigus), sur le sommet de l’angle droit lorsque le triangle est rectangle, et à l’extérieur du triangle lorsque celui-ci est obtusangle (un angle obtus).
Corrigé 4 — Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, car il est à égale distance des trois sommets (OA = OB = OC) : c’est exactement la propriété qui caractérise le point de concours des médiatrices.
Corrigé 5 — a) Vrai : contrairement à l’orthocentre, le centre de gravité d’un triangle est toujours situé à l’intérieur du triangle, quelle que soit sa forme. b) Faux : l’orthocentre n’est à l’intérieur du triangle que si celui-ci est acutangle ; il est situé sur le sommet de l’angle droit si le triangle est rectangle, et à l’extérieur du triangle si celui-ci est obtusangle.
