Énergie potentielle d’une charge électrique dans un champ électrique uniforme

Ce dernier chapitre du programme spécifique à la filière Sciences Mathématiques établit le lien entre les notions de force électrique, de travail et d’énergie, dans le cas particulier — mais fondamental — d’un champ électrostatique uniforme, tel que celui qui règne entre les plaques d’un condensateur plan étudié au chapitre précédent. On y introduit le travail de la force électrique lors du déplacement d’une charge, l’énergie potentielle électrique associée, la relation qui les relie, ainsi que l’application du théorème de l’énergie cinétique au mouvement d’une particule chargée dans un champ uniforme. Ce chapitre permet également de préciser la notion de différence de potentiel (tension), déjà utilisée de façon plus intuitive dans l’étude des circuits électriques.

Travail de la force électrique dans un champ uniforme

Considérons une charge ponctuelle q, placée dans un champ électrostatique uniforme E, par exemple celui qui règne entre les plaques d’un condensateur plan. Cette charge subit une force électrique constante F = q × E, de même direction que E (et de même sens si q > 0, de sens opposé si q < 0).

Lorsque la charge se déplace d’un point A vers un point B, le travail de la force électrique le long de ce déplacement s’exprime par :

W_AB(F) = q × E × x

où x représente la projection algébrique du déplacement AB sur la direction du champ E (comptée positivement dans le sens de E). Ce travail ne dépend donc que de la position du point de départ A et du point d’arrivée B projetés sur l’axe du champ, et absolument pas de la trajectoire suivie entre A et B : on dit que la force électrique dans un champ uniforme est une force conservative, exactement comme le poids dans le champ de pesanteur uniforme.

Dans le cas particulier où le déplacement est parallèle au champ E, sur une distance d dans le sens de E, on a simplement x = d et W_AB(F) = q × E × d. Si le déplacement s’effectue dans le sens opposé au champ, x est négatif et le travail change de signe. Si le déplacement est perpendiculaire au champ E, x = 0 et le travail de la force électrique est nul.

Énergie potentielle électrique

De même qu’on associe une énergie potentielle de pesanteur au poids, on associe à la force électrique F = q × E une énergie potentielle électrique E_p, définie (à une constante additive près, qui dépend du choix arbitraire d’une origine) par la relation :

E_p = − q × E × x + constante

où x désigne l’abscisse du point considéré, comptée positivement dans le sens du champ E, à partir d’une origine choisie arbitrairement (par exemple, l’une des plaques du condensateur). Le signe négatif traduit le fait que l’énergie potentielle électrique diminue dans le sens où la force électrique F = qE « pousse naturellement » une charge positive : de même que le poids fait diminuer l’énergie potentielle de pesanteur en tombant, la force électrique fait diminuer E_p en accélérant une charge dans le sens du champ (pour q > 0).

De façon équivalente, on relie l’énergie potentielle électrique d’une charge q en un point M au potentiel électrique V(M) régnant en ce point :

E_p = q × V

Le potentiel électrique V s’exprime en volt (V) ; comme E_p, il n’est défini qu’à une constante additive près, ce qui correspond au choix d’une origine des potentiels (souvent, on choisit V = 0 sur l’une des plaques). Ce qui a un sens physique mesurable, ce n’est pas la valeur de V en un point, mais la différence de potentiel entre deux points, indépendante du choix de l’origine.

Relation entre travail et variation d’énergie potentielle

Comme pour toute force conservative, le travail de la force électrique entre deux points A et B est relié à la variation de l’énergie potentielle électrique par la relation générale :

W_AB(F) = − ΔE_p = E_p(A) − E_p(B)

Autrement dit, le travail de la force électrique lorsque la charge se déplace de A vers B est égal à l’opposé de la variation d’énergie potentielle électrique, ou, ce qui revient au même, à l’énergie potentielle au point de départ moins l’énergie potentielle au point d’arrivée. Cette relation traduit une idée physique essentielle : lorsque la force électrique effectue un travail moteur (W > 0) sur la charge, celle-ci « puise » de l’énergie dans son énergie potentielle, qui diminue en conséquence (ΔE_p < 0).

En exprimant E_p = q × V, cette relation peut également s’écrire en fonction du potentiel électrique :

W_AB(F) = q × [V(A) − V(B)] = q × U_AB

où U_AB = V(A) − V(B) est la tension (différence de potentiel) entre les points A et B, exprimée en volt (V). Cette formule très générale W_AB(F) = q × U_AB est valable pour tout déplacement d’une charge q entre deux points A et B d’un champ électrostatique, uniforme ou non.

Théorème de l’énergie cinétique appliqué à une charge dans un champ électrique

Le théorème de l’énergie cinétique, déjà rencontré en mécanique, énonce que la variation d’énergie cinétique d’un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s’exercent sur lui au cours du déplacement correspondant. Pour une particule chargée de masse m et de charge q, se déplaçant d’un point A vers un point B dans un champ électrostatique uniforme E, en négligeant le poids de la particule devant la force électrique (ce qui est justifié pour un électron, un proton ou un ion, de masse extrêmement faible), ce théorème s’écrit :

E_c(B) − E_c(A) = W_AB(F) = q × U_AB

avec E_c = (1 ÷ 2) × m × v², l’énergie cinétique de la particule (en joule, J), m sa masse (en kg) et v sa vitesse (en m·s⁻¹).

Cette relation est très utilisée pour déterminer la vitesse d’une particule chargée accélérée par une tension U_AB entre deux points A et B (par exemple, entre les plaques d’un condensateur). Si la particule part sans vitesse initiale en A (v_A = 0), on obtient :

(1 ÷ 2) × m × v_B² = q × U_AB, soit v_B = √(2 × q × U_AB ÷ m)

Pour que cette accélération soit effective (v_B réel et positif), il faut que le produit q × U_AB soit positif : une charge positive doit être accélérée par une tension U_AB positive, tandis qu’une charge négative nécessite une tension U_AB négative pour être accélérée dans le même sens.

Différence de potentiel (tension) et lien avec le champ uniforme

La différence de potentiel (ou tension) U_AB entre deux points A et B d’un champ électrostatique est définie par U_AB = V(A) − V(B), et s’exprime en volt (V). D’après la relation W_AB(F) = q × U_AB, on retrouve que le volt est homogène à un joule par coulomb : 1 V = 1 J·C⁻¹.

Dans le cas particulier du champ uniforme entre les plaques d’un condensateur plan, si A est un point situé sur la plaque positive et B un point situé sur la plaque négative, séparées d’une distance d, la tension entre les deux plaques et l’intensité du champ uniforme sont reliées par :

U_AB = E × d, soit E = U_AB ÷ d

Cette relation, déjà énoncée dans le chapitre précédent, prend ici tout son sens physique : le champ électrostatique uniforme E peut être vu comme le « taux de variation » du potentiel électrique par unité de longueur le long de la direction du champ. Plus la tension U_AB appliquée entre les plaques est grande, ou plus la distance d qui les sépare est petite, plus le champ (et donc la force électrique exercée sur une charge placée entre les plaques) est intense.

Cette relation, combinée au théorème de l’énergie cinétique, permet d’étudier complètement le mouvement d’une particule chargée accélérée puis, éventuellement, déviée entre les plaques d’un condensateur plan — un dispositif à la base du fonctionnement de nombreux instruments scientifiques (oscilloscope cathodique, spectromètre de masse, accélérateurs de particules).

Exercice d’application

1. Exercice 1 : Une charge q = +2,0×10⁻⁶ C se déplace d’un point A vers un point B dans un champ électrostatique uniforme E = 5,0×10³ V·m⁻¹, le déplacement AB étant parallèle au champ, de longueur d = 8,0 cm, dans le sens du champ. Calculer le travail W_AB(F) de la force électrique.

2. Exercice 2 : Entre deux points A et B, la tension vaut U_AB = 12 V. Une charge q = −3,0×10⁻⁶ C se déplace de A vers B. Calculer le travail de la force électrique W_AB(F). Ce travail est-il moteur ou résistant ?

3. Exercice 3 : Un proton (charge q = +1,6×10⁻¹⁹ C, masse m = 1,67×10⁻²⁷ kg), initialement immobile, est accéléré entre deux points A et B soumis à une tension U_AB = 1000 V (avec q × U_AB > 0). Calculer la vitesse v_B atteinte par le proton en B.

4. Exercice 4 : Un condensateur plan a ses plaques séparées d’une distance d = 3,0 cm et soumises à une tension U = 600 V. Calculer l’intensité du champ E entre les plaques, puis le travail de la force électrique subi par une charge q = +5,0×10⁻⁸ C se déplaçant de la plaque positive à la plaque négative (déplacement parallèle au champ, sur toute la distance d).

5. Exercice 5 : Une particule de charge q = −4,0×10⁻⁹ C possède une énergie potentielle électrique E_p(A) = 6,0×10⁻⁶ J au point A et E_p(B) = 2,0×10⁻⁶ J au point B. Calculer le travail de la force électrique W_AB(F) lors du déplacement de A vers B. Ce travail est-il moteur ou résistant ?

6. Exercice 6 : Un électron (charge q = −1,6×10⁻¹⁹ C, masse m = 9,1×10⁻³¹ kg), initialement immobile, est accéléré sous une tension telle que q × U_AB = 8,0×10⁻¹⁷ J (produit positif, donc accélération effective). Calculer la vitesse finale v_B de l’électron.

7. Exercice 7 : Une charge q = +1,0×10⁻⁶ C se déplace entre deux points A et B d’un champ électrostatique uniforme d’intensité E = 2,5×10³ V·m⁻¹. La projection du déplacement AB sur la direction du champ vaut x = 6,0 cm. Calculer le travail de la force électrique W_AB(F). Que vaudrait ce travail si le déplacement AB était perpendiculaire au champ E ? Justifier.

Corrigés

Réponse 1 :

Corrigé 1 : W_AB(F) = q × E × d = 2,0×10⁻⁶ × 5,0×10³ × 0,080. Calcul intermédiaire : 2,0×10⁻⁶ × 5,0×10³ = 1,0×10⁻² ; 1,0×10⁻² × 0,080 = 8,0×10⁻⁴ J. Le travail de la force électrique vaut donc W_AB(F) = 8,0×10⁻⁴ J.

Réponse 2 :

Corrigé 2 : W_AB(F) = q × U_AB = (−3,0×10⁻⁶) × 12 = −3,6×10⁻⁵ J. Le travail est négatif : il est donc résistant — la force électrique s’oppose au déplacement de la charge et prélève de l’énergie cinétique à celle-ci.

Réponse 3 :

Corrigé 3 : D’après le théorème de l’énergie cinétique, en partant du repos : (1 ÷ 2) × m × v_B² = q × U_AB, donc v_B = √(2 × q × U_AB ÷ m). Calcul du numérateur : 2 × 1,6×10⁻¹⁹ × 1000 = 3,2×10⁻¹⁶. Division par la masse : 3,2×10⁻¹⁶ ÷ 1,67×10⁻²⁷ ≈ 1,916×10¹¹. Racine carrée : v_B = √(1,916×10¹¹) ≈ 4,38×10⁵ m·s⁻¹. Le proton atteint donc une vitesse d’environ 4,4×10⁵ m·s⁻¹ en B.

Réponse 4 :

Corrigé 4 : Intensité du champ : E = U ÷ d = 600 ÷ 0,030 = 2,0×10⁴ V·m⁻¹. Travail de la force électrique sur tout le trajet (de la plaque + à la plaque −, donc x = d) : W_AB(F) = q × E × d = 5,0×10⁻⁸ × 2,0×10⁴ × 0,030 = 5,0×10⁻⁸ × 600 = 3,0×10⁻⁵ J (on retrouve le même résultat en utilisant directement W_AB(F) = q × U = 5,0×10⁻⁸ × 600 = 3,0×10⁻⁵ J). Le travail de la force électrique vaut donc 3,0×10⁻⁵ J.

Réponse 5 :

Corrigé 5 : W_AB(F) = E_p(A) − E_p(B) = 6,0×10⁻⁶ − 2,0×10⁻⁶ = 4,0×10⁻⁶ J. Le travail est positif : il est donc moteur — la force électrique accélère la charge dans le sens de son déplacement, en lui fournissant de l’énergie cinétique prélevée sur son énergie potentielle (qui diminue effectivement de A vers B).

Réponse 6 :

Corrigé 6 : D’après le théorème de l’énergie cinétique, en partant du repos : (1 ÷ 2) × m × v_B² = q × U_AB = 8,0×10⁻¹⁷ J, donc v_B = √(2 × 8,0×10⁻¹⁷ ÷ m). Calcul du numérateur : 2 × 8,0×10⁻¹⁷ = 1,6×10⁻¹⁶. Division par la masse de l’électron : 1,6×10⁻¹⁶ ÷ 9,1×10⁻³¹ ≈ 1,758×10¹⁴. Racine carrée : v_B = √(1,758×10¹⁴) ≈ 1,33×10⁷ m·s⁻¹. L’électron atteint donc une vitesse d’environ 1,3×10⁷ m·s⁻¹, très inférieure à la vitesse de la lumière, ce qui justifie a posteriori l’usage de la mécanique classique.

Réponse 7 :

Corrigé 7 : W_AB(F) = q × E × x = 1,0×10⁻⁶ × 2,5×10³ × 0,060. Calcul intermédiaire : 1,0×10⁻⁶ × 2,5×10³ = 2,5×10⁻³ ; 2,5×10⁻³ × 0,060 = 1,5×10⁻⁴ J. Le travail vaut donc W_AB(F) = 1,5×10⁻⁴ J. Si le déplacement AB était perpendiculaire au champ E, alors sa projection sur la direction du champ serait nulle (x = 0), et le travail de la force électrique serait alors nul : W_AB(F) = 0. Cela s’explique par le fait qu’une force ne travaille que pour la composante du déplacement qui lui est colinéaire ; une force perpendiculaire au déplacement ne travaille jamais.