La théorie des ensembles offre le langage commun à toutes les mathématiques : elle permet de définir rigoureusement les nombres, les fonctions, les relations et les structures étudiées tout au long de l’année. Ce chapitre reprend les notions d’appartenance, d’inclusion et d’opérations sur les ensembles (union, intersection, complémentaire, produit cartésien), puis introduit la notion fondamentale d’application entre deux ensembles, avec les propriétés d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité qui seront réutilisées dans l’étude des fonctions numériques.
Ensembles, appartenance et inclusion
Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments. Si x est élément de E, on note x∈E ; sinon, x∉E. Un ensemble A est inclus dans E, noté A⊂E, lorsque tout élément de A appartient à E : ∀x, (x∈A ⟹ x∈E). On dit alors que A est une partie de E. L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément et est inclus dans tout ensemble. Deux ensembles A et B sont égaux lorsque A⊂B et B⊂A.
Exemple traité : Soit E = {1,2,3,4,5,6} et A = {2,4,6}. Tout élément de A appartient à E, donc A⊂E. L’ensemble B = {2,4,7} n’est pas inclus dans E car 7∉E. Pour montrer que A = {x∈E, x pair}, on vérifie que chaque élément pair de E (2,4,6) appartient à A et réciproquement : l’égalité des deux descriptions de A est ainsi établie.
Opérations sur les ensembles : union, intersection, complémentaire
Soient A et B deux parties de E. L’union A∪B contient les éléments de A ou de B. L’intersection A∩B contient les éléments appartenant à la fois à A et à B. Le complémentaire de A dans E, noté ∁EA, contient les éléments de E n’appartenant pas à A. Lois de De Morgan : ∁E(A∪B) = (∁EA)∩(∁EB) et ∁E(A∩B) = (∁EA)∪(∁EB).
Exemple traité : Soit E={1,…,10}, A={2,4,6,8,10}, B={3,6,9}. A∪B={2,3,4,6,8,9,10}, A∩B={6}. ∁EA={1,3,5,7,9}. Vérifions la loi de De Morgan : ∁E(A∪B) = E privé de {2,3,4,6,8,9,10} = {1,5,7}. D’autre part ∁EB={1,2,4,5,7,8,10}, donc (∁EA)∩(∁EB) = {1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10} = {1,5,7}. On retrouve le même ensemble, ce qui confirme la loi sur cet exemple.
Produit cartésien de deux ensembles
Le produit cartésien de E et F, noté E×F, est l’ensemble des couples (x,y) avec x∈E et y∈F. En général E×F ≠ F×E. Si E possède p éléments et F possède q éléments, alors E×F possède p×q éléments.
Exemple traité : Soit E={1,2} et F={a,b,c}. E×F = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}, soit 2×3=6 couples. F×E = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} : par exemple (1,a)∈E×F mais (1,a)∉F×E, ce qui montre que E×F ≠ F×E.
Applications : définition, injection, surjection, bijection
Soient E, F non vides. Une application f : E → F associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F. f est injective lorsque ∀(x₁,x₂)∈E², (f(x₁)=f(x₂) ⟹ x₁=x₂). f est surjective lorsque ∀y∈F, ∃x∈E, y=f(x). f est bijective lorsqu’elle est injective et surjective.
Exemple traité : Soit f : ℝ → ℝ, f(x)=2x+1. Injectivité : si f(x₁)=f(x₂), alors 2x₁+1=2x₂+1, donc x₁=x₂ : f est injective. Surjectivité : pour y∈ℝ, l’équation 2x+1=y donne x=(y-1)/2, réel pour tout y : f est surjective. Donc f est bijective.
Composée d’applications et application réciproque
Soient f : E → F et g : F → G. La composée g∘f : E → G est définie par (g∘f)(x) = g(f(x)). Lorsque f : E → F est bijective, il existe une unique application réciproque f-1 : F → E telle que f-1∘f = idE et f∘f-1 = idF ; on a y=f(x) ⟺ x=f-1(y).
Exemple traité : Pour f(x)=2x+1, bijective, on a y=2x+1 ⟺ x=(y-1)/2, donc f-1(y)=(y-1)/2. Vérification : (f-1∘f)(x) = f-1(2x+1) = ((2x+1)-1)/2 = x, ce qui confirme f-1∘f = idℝ. Avec g(x)=x², (g∘f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x²+4x+1.
Exercices
1. Soit E = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {1,2,3,4} et B = {3,4,5,6}. Déterminer A∪B, A∩B, A\B (éléments de A qui ne sont pas dans B) et ∁EA.
2. Soit E l’ensemble des entiers de 1 à 20. Soit A l’ensemble des multiples de 3 dans E et B l’ensemble des multiples de 4 dans E. Déterminer A∩B et interpréter le résultat.
3. Soit E = {a,b} et F = {1,2,3}. Écrire en extension E×F, puis donner son nombre d’éléments.
4. Soient A, B, C trois parties d’un ensemble E. Démontrer que A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) en établissant la double inclusion.
5. Soit f : ℝ → ℝ, f(x) = x² – 4. f est-elle injective ? Est-elle surjective ? Justifier précisément avec des exemples numériques.
6. Soit g : [2;+∞[ → [0;+∞[, g(x) = x² – 4. Montrer que g est bijective et déterminer g-1.
7. (Synthèse) Soient f : E → F et h : F → G. a) Démontrer que si f et h sont injectives, alors h∘f est injective. b) Démontrer que si h∘f est surjective, alors h est surjective.
Corrigés
1. A∪B = {1,2,3,4,5,6}. A∩B = {3,4} (éléments communs). A\B = {1,2} (éléments de A qui ne sont pas dans B). ∁EA = E privé de A = {5,6,7,8}.
2. A = {3,6,9,12,15,18} (multiples de 3 entre 1 et 20). B = {4,8,12,16,20} (multiples de 4). A∩B = {12}. Interprétation : A∩B est l’ensemble des multiples du ppcm(3,4)=12 présents dans E ; ici seul 12 convient.
3. E×F = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. Nombre d’éléments : 2×3 = 6.
4. Double inclusion. 1) A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C) : soit x∈A∩(B∪C), donc x∈A et (x∈B ou x∈C). Si x∈B, alors x∈A et x∈B donc x∈A∩B, donc x∈(A∩B)∪(A∩C). Si x∈C, de même x∈A∩C, donc x∈(A∩B)∪(A∩C). Dans les deux cas, x∈(A∩B)∪(A∩C). 2) (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C) : soit x∈(A∩B)∪(A∩C). Si x∈A∩B, alors x∈A et x∈B, donc x∈B∪C, donc x∈A∩(B∪C). Si x∈A∩C, alors x∈A et x∈C, donc x∈B∪C, donc x∈A∩(B∪C). Les deux inclusions étant établies, A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
5. Injectivité : f(3) = 3²-4 = 5 et f(-3) = (-3)²-4 = 5. On a f(3)=f(-3) alors que 3≠-3, donc f n’est pas injective. Surjectivité : pour y=-5, il faudrait x²-4=-5, soit x²=-1, impossible dans ℝ (un carré est toujours ≥0). Donc y=-5 n’a pas d’antécédent : f n’est pas surjective.
6. Injectivité : soient x₁,x₂∈[2;+∞[ tels que g(x₁)=g(x₂), soit x₁²-4=x₂²-4, donc x₁²=x₂², donc x₁=x₂ ou x₁=-x₂. Comme x₁,x₂≥2>0, l’égalité x₁=-x₂ est impossible (un nombre positif ne peut égaler l’opposé d’un nombre positif non nul), donc x₁=x₂ : g est injective. Surjectivité : soit y∈[0;+∞[. On résout x²-4=y avec x≥2 : x²=y+4≥4>0, donc x=√(y+4), qui est bien ≥2 (car y+4≥4). Donc g est surjective. g est donc bijective, et g-1(y) = √(y+4) pour tout y∈[0;+∞[.
7. a) Soient x₁,x₂∈E tels que (h∘f)(x₁)=(h∘f)(x₂), soit h(f(x₁))=h(f(x₂)). Comme h est injective, f(x₁)=f(x₂). Comme f est injective, x₁=x₂. Donc h∘f est injective. b) Soit z∈G. Comme h∘f est surjective, il existe x∈E tel que h(f(x))=z. Posons y=f(x)∈F : alors h(y)=z, donc z possède un antécédent par h. Ainsi tout élément de G a un antécédent par h : h est surjective.
