I. Résoudre une équation du premier degré
Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Pour une équation du type ax + b = c, on isole x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l’égalité.
Règle : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) les deux membres d’une équation sans changer sa solution.
Exemple : pour résoudre 3x + 2 = 11, on soustrait 2 puis on divise par 3 : x = 3.
II. Équations avec parenthèses et réduction
Lorsque l’équation contient des parenthèses, on commence par développer, puis on réduit les termes semblables avant d’isoler l’inconnue.
Exemple : 2(x + 3) = 4x – 2 devient 2x + 6 = 4x – 2, puis 6 + 2 = 4x – 2x, soit 8 = 2x, donc x = 4.
III. Les inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue qui la vérifient.
Comme pour une équation, on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l’inégalité. Mais attention : si l’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.
IV. Résoudre et représenter une inéquation
Exemple : résoudre 2x – 1 > 5. On ajoute 1 aux deux membres : 2x > 6. On divise par 2 (positif, le sens ne change pas) : x > 3.
Autre exemple : résoudre -2x + 4 ≥ 10. On soustrait 4 : -2x ≥ 6. On divise par -2 (négatif, le sens change) : x ≤ -3.
La solution d’une inéquation peut être représentée sur une droite graduée : un cercle vide (ouvert) si la valeur n’est pas incluse (cas de > ou <), un cercle plein (fermé) si elle l'est (cas de ≥ ou ≤).
V. Méthode : problèmes se ramenant à une équation ou une inéquation
Pour résoudre un problème concret, on choisit une inconnue x, on traduit les données de l’énoncé par une équation ou une inéquation, on la résout, puis on vérifie que la solution est cohérente avec le contexte (par exemple, une longueur doit être positive).
Exemple : un rectangle a pour longueur x et pour largeur x – 3. Son périmètre vaut 34 cm. On pose 2(x + x – 3) = 34, soit 4x – 6 = 34, donc x = 10. La longueur mesure 10 cm et la largeur 7 cm.
Exercices
Exercice 1. Résoudre : 5x – 3 = 12.
Exercice 2. Résoudre : 2(x – 4) = 3x – 5.
Exercice 3. Résoudre l’inéquation : 3x + 1 < 10.
Exercice 4. Résoudre l’inéquation : -4x + 2 ≥ 14.
Exercice 5. Un triangle a pour périmètre 42 cm. Ses côtés mesurent x, x + 4 et x + 8. Déterminer x et les longueurs des trois côtés.
Corrigés
Corrigé 1. 5x – 3 = 12 → 5x = 15 → x = 3.
Corrigé 2. 2(x – 4) = 3x – 5 → 2x – 8 = 3x – 5 → -8 + 5 = 3x – 2x → x = -3.
Corrigé 3. 3x + 1 < 10 → 3x < 9 → x < 3.
Corrigé 4. -4x + 2 ≥ 14 → -4x ≥ 12 → x ≤ -3 (le sens change car on divise par -4).
Corrigé 5. x + (x + 4) + (x + 8) = 42 → 3x + 12 = 42 → 3x = 30 → x = 10. Les côtés mesurent 10 cm, 14 cm et 18 cm.
