L’étude d’une fonction numérique consiste à rassembler les outils vus précédemment (limites, dérivée, sens de variation) pour déterminer son domaine de définition, ses éventuelles symétries, son tableau de variation complet et les éléments nécessaires au tracé de sa courbe représentative.
Domaine de définition et parité
Domaine de définition. Le domaine de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. Pour une fonction rationnelle, on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur ; pour une fonction contenant une racine carrée, on exige que l’expression sous la racine soit positive ou nulle.
Exemple : f(x) = (x+1)/(x−3) a pour domaine Df = ℝ \ {3}. g(x) = √(2x−4) a pour domaine Dg = [2, +∞[.
Parité. Une fonction f, de domaine symétrique par rapport à 0, est paire si f(−x) = f(x) pour tout x (sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), et impaire si f(−x) = −f(x) (sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère).
Exemple : f(x) = x² + 1 est paire. f(x) = x³ − x est impaire.
Tableau de variation
Le tableau de variation d’une fonction f dérivable sur un intervalle I résume, à partir du signe de f′, les intervalles où f est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs de f aux bornes et aux points où f′ s’annule.
Méthode : (1) déterminer Df ; (2) calculer f′(x) et étudier son signe ; (3) en déduire le sens de variation de f ; (4) calculer les valeurs (ou limites) de f aux bornes des intervalles ; (5) dresser le tableau.
Exemple : Pour f(x) = x³ − 3x sur ℝ, f′(x) = 3x² − 3 s’annule en −1 et 1. f est croissante sur ]−∞,−1], décroissante sur [−1,1], croissante sur [1,+∞[, avec f(−1) = 2 (maximum local) et f(1) = −2 (minimum local).
Éléments pour le tracé de la courbe
Pour tracer la courbe représentative Cf d’une fonction f, on utilise : le tableau de variation, les éventuelles asymptotes (verticales, horizontales ou obliques, déterminées à l’aide des limites), les coordonnées de quelques points remarquables (intersections avec les axes, extremums), et la parité éventuelle qui permet de ne tracer la courbe que sur une moitié du domaine puis de compléter par symétrie.
Exemple : Pour f(x) = 1/x, limx→0 f(x) = ±∞ (asymptote verticale x = 0) et limx→±∞ f(x) = 0 (asymptote horizontale y = 0). f est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Synthèse : étude complète d’une fonction
Une étude complète suit un plan type : domaine de définition → parité (si utile) → limites aux bornes du domaine et asymptotes → dérivée et signe → tableau de variation → tracé de la courbe.
Exemple guidé : f(x) = x² − 4x + 3 sur ℝ. f′(x) = 2x − 4 s’annule en x = 2, négative avant, positive après. f est décroissante sur ]−∞,2], croissante sur [2,+∞[, avec un minimum f(2) = −1. La courbe est une parabole de sommet (2,−1).
Exercices
Exercice 1 — Déterminer le domaine de définition de f(x) = (x−1)/(x²−4).
Exercice 2 — Déterminer le domaine de définition de g(x) = √(5−x).
Exercice 3 — Étudier la parité de f(x) = x⁴ − 2x².
Exercice 4 — Étudier la parité de f(x) = x³ + x.
Exercice 5 — Dresser le tableau de variation de f(x) = −x² + 2x + 3 sur ℝ.
Exercice 6 — Dresser le tableau de variation de f(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ et préciser ses extremums locaux.
Exercice 7 — Étudier complètement (domaine, dérivée, variations) la fonction f(x) = 2x/(x+1) et préciser ses asymptotes éventuelles.
Corrigés
Corrigé 1 — Le dénominateur x²−4 s’annule en x = ±2, donc D_f = ℝ \ {−2, 2}.
Corrigé 2 — Il faut 5−x ≥ 0, soit x ≤ 5 : D_g = ]−∞, 5].
Corrigé 3 — f(−x) = x⁴ − 2x² = f(x) : f est paire.
Corrigé 4 — f(−x) = −x³ − x = −(x³+x) = −f(x) : f est impaire.
Corrigé 5 — f′(x) = −2x + 2 s’annule en x = 1, positive avant, négative après : f croissante sur ]−∞,1], décroissante sur [1,+∞[, maximum f(1) = 4.
Corrigé 6 — f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), zéros en ±1 : f croissante sur ]−∞,−1], décroissante sur [−1,1], croissante sur [1,+∞[. Maximum local f(−1) = 3 ; minimum local f(1) = −1.
Corrigé 7 — D_f = ℝ \ {−1}. f(x) = 2 − 2/(x+1), donc f′(x) = 2/(x+1)², toujours positive : f strictement croissante sur ]−∞,−1[ et sur ]−1,+∞[. lim en −1 : ±∞ (asymptote verticale x = −1). lim en ±∞ : 2 (asymptote horizontale y = 2).
