Ce chapitre rassemble tous les outils vus précédemment (limites, dérivation) pour mener une étude complète d’une fonction numérique : détermination du domaine de définition, calcul des limites aux bornes, recherche des asymptotes et des branches infinies, étude du signe de la dérivée pour obtenir le tableau de variations, puis construction de la courbe représentative. C’est une compétence centrale du programme, très présente à l’examen national, qui exige rigueur et méthode.
Domaine de définition, limites aux bornes et parité
Domaine de définition. On détermine Df en excluant les valeurs qui annulent un dénominateur, qui rendent négative une expression sous une racine carrée, etc. Parité. Si Df est symétrique par rapport à 0 et que f(-x) = f(x) pour tout x, f est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). Si f(-x) = -f(x), f est impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine O). Cette propriété permet de réduire l’étude à une moitié du domaine.
Exemple entièrement traité. Soit f(x) = (2x² – 1) / (x – 1). Le dénominateur s’annule en x = 1, donc Df = ℝ\{1}. Étudions les limites aux bornes. En x = 1 : le numérateur vaut 2×1² – 1 = 1 > 0, tandis que le dénominateur tend vers 0. Pour x → 1⁺, (x – 1) → 0⁺, donc f(x) → +∞ (positif divisé par un nombre positif tendant vers 0). Pour x → 1⁻, (x – 1) → 0⁻, donc f(x) → -∞. En +∞ et en -∞, en divisant numérateur et dénominateur par x : f(x) ≈ 2x² / x = 2x pour |x| grand, donc limx→+∞ f(x) = +∞ et limx→-∞ f(x) = -∞.
Asymptotes verticales, horizontales et obliques
Définitions. La droite d’équation x = a est asymptote verticale à (Cf) si limx→a f(x) = ±∞. La droite y = b est asymptote horizontale en +∞ (ou -∞) si limx→+∞ f(x) = b (ou en -∞). La droite y = ax + b (a ≠ 0) est asymptote oblique si limx→+∞ [f(x) – (ax + b)] = 0 ; en pratique, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour écrire f(x) sous la forme ax + b + ε(x), avec lim ε(x) = 0.
Exemple entièrement traité (suite du précédent). Reprenons f(x) = (2x² – 1)/(x – 1). D’après l’étude précédente, la droite x = 1 est asymptote verticale à (Cf). Effectuons la division : 2x² – 1 = (x – 1)(2x + 2) + 1, ce que l’on vérifie en développant (x-1)(2x+2) = 2x² + 2x – 2x – 2 = 2x² – 2, et 2x² – 2 + 1 = 2x² – 1. On peut donc écrire f(x) = 2x + 2 + 1/(x – 1). Comme 1/(x-1) tend vers 0 quand x tend vers +∞ ou -∞, la droite d’équation y = 2x + 2 est asymptote oblique à (Cf) en +∞ et en -∞. De plus, le signe de 1/(x-1) donne la position de la courbe par rapport à l’asymptote : pour x > 1, 1/(x-1) > 0 donc (Cf) est au-dessus de l’asymptote ; pour x < 1, (Cf) est en dessous.
Branches infinies : directions asymptotiques et branches paraboliques
Méthode. Lorsque limx→∞ f(x) = ∞, on étudie a = limx→∞ f(x)/x. Si a est un réel non nul et si limx→∞ [f(x) – ax] = b (fini), on obtient une asymptote oblique y = ax + b. Si cette dernière limite vaut ±∞, on dit que (Cf) admet une branche parabolique de direction la droite y = ax. Si a = 0, la branche parabolique a pour direction l’axe (Ox) ; si a = ±∞, elle a pour direction l’axe (Oy).
Exemple 1 (asymptote oblique obtenue par étude de branche infinie). Soit f(x) = √(x² + x + 1), définie sur ℝ (car x² + x + 1 a un discriminant négatif : 1 – 4 = -3 < 0, donc toujours strictement positif). En +∞ : f(x)/x = √(x² + x + 1)/x = √(1 + 1/x + 1/x²) → 1, donc a = 1. Puis f(x) - x = [(x² + x + 1) - x²] / [√(x² + x + 1) + x] = (x + 1) / [√(x² + x + 1) + x], qui tend vers 1/2 quand x → +∞ (le numérateur et le dénominateur sont tous deux équivalents à x et 2x). Donc y = x + 1/2 est asymptote oblique en +∞. En -∞, un calcul analogue (en posant x = -t, t → +∞) donne a = -1 et b = -1/2, donc y = -x - 1/2 est asymptote oblique en -∞.
Exemple 2 (véritable branche parabolique). Soit g(x) = x + √x, définie sur [0 ; +∞[. On a g(x)/x = 1 + 1/√x, qui tend vers 1 quand x → +∞ : donc a = 1. Mais g(x) – x = √x, qui tend vers +∞. La courbe de g admet donc, en +∞, une branche parabolique de direction la droite y = x (il n’y a pas d’asymptote oblique dans ce cas).
Dérivée, tableau de variations et compilation des résultats
Méthode. Une fois le domaine, les limites et les asymptotes déterminés, on calcule f'(x), on étudie son signe, puis on en déduit le sens de variation de f sur chaque intervalle. On rassemble alors domaine, limites et variations dans un tableau de variations, étape indispensable avant le tracé.
Exemple entièrement traité. Soit f(x) = x³ – 3x, définie sur ℝ. Limites : limx→+∞ f(x) = +∞ et limx→-∞ f(x) = -∞ (le terme x³ est prépondérant). Pas d’asymptote (fonction polynôme). Dérivée : f'(x) = 3x² – 3 = 3(x – 1)(x + 1), qui s’annule en x = -1 et x = 1, positive à l’extérieur de [-1 ; 1] et négative à l’intérieur. On en déduit : f est croissante sur ]-∞ ; -1], décroissante sur [-1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[. Les valeurs clés sont f(-1) = -1 + 3 = 2 (maximum local) et f(1) = 1 – 3 = -2 (minimum local). Le tableau de variations résume ainsi le comportement de f : elle part de -∞, croît jusqu’à 2 en x = -1, décroît jusqu’à -2 en x = 1, puis croît à nouveau vers +∞.
Plan d’étude complet et construction de la courbe représentative
Plan-type d’une étude complète : 1) domaine de définition et parité éventuelle ; 2) limites aux bornes du domaine ; 3) asymptotes et branches infinies ; 4) dérivée, signe, sens de variation, extremums, tableau de variations ; 5) quelques points remarquables (intersections avec les axes) puis tracé de la courbe.
Exemple entièrement traité. Reprenons f(x) = x³ – 3x sur ℝ. Parité : f(-x) = (-x)³ – 3(-x) = -x³ + 3x = -(x³ – 3x) = -f(x), donc f est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O, il suffit donc d’étudier f sur [0 ; +∞[ puis de compléter par symétrie. Points remarquables : f(x) = 0 équivaut à x(x² – 3) = 0, soit x = 0, x = √3 ou x = -√3 ; la courbe coupe donc l’axe des abscisses en ces trois points. D’après l’étude des variations (section précédente), on a aussi le maximum local (-1 ; 2) et le minimum local (1 ; -2). Tracé : sur [0 ; +∞[, la courbe part du minimum local (1 ; -2) — après être passée par (0 ; 0) en décroissant depuis ce point vers ce minimum — puis croît en passant par (√3 ; 0) et se dirige vers +∞ ; par symétrie par rapport à O, on obtient la branche pour x ≤ 0, avec le maximum local (-1 ; 2) et le point (-√3 ; 0).
Exercices
1. Déterminer le domaine de définition de f(x) = √(3 – 2x) et de g(x) = (x + 2) / (x² – 4).
2. Calculer les limites suivantes : limx→+∞ (3x² – 5x + 1) / (x² + 2) et limx→2 (x² – 4) / (x – 2).
3. Soit f(x) = (x² + 3) / (x – 2). Déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes, puis en déduire les asymptotes (verticale et oblique, cette dernière par division euclidienne).
4. Soit f(x) = √(x² – 2x + 5). Montrer que le domaine de définition est ℝ, puis étudier la branche infinie de (Cf) en +∞ et en -∞ (préciser si ce sont de véritables asymptotes obliques).
5. Soit f(x) = x³ – 3x² + 2, définie sur ℝ. Étudier le signe de f'(x), dresser le sens de variation de f, préciser ses extremums locaux ainsi que ses limites en ±∞.
6. Soit f(x) = (x² – 1) / x, définie sur ℝ*. Montrer que f est impaire, déterminer ses limites en 0⁻, 0⁺, +∞ et -∞, préciser ses asymptotes, calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f sur chacun des intervalles de son domaine.
7. Soit f(x) = x + 1 + 1/(x – 1), définie sur ℝ\{1}. 1) Déterminer les limites de f en 1⁻, 1⁺, +∞ et -∞, et préciser les asymptotes de (Cf). 2) Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de f (on précisera les extremums locaux). 3) Discuter, selon les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.
Corrigés
1. Pour f(x) = √(3 – 2x), il faut 3 – 2x ≥ 0, soit x ≤ 3/2, donc Df = ]-∞ ; 3/2]. Pour g(x) = (x + 2)/(x² – 4), il faut x² – 4 ≠ 0, soit x² ≠ 4, donc x ≠ 2 et x ≠ -2 ; ainsi Dg = ℝ\{-2 ; 2}.
2. Pour limx→+∞ (3x² – 5x + 1)/(x² + 2), on divise numérateur et dénominateur par x² : (3 – 5/x + 1/x²) / (1 + 2/x²), qui tend vers 3/1 = 3 quand x → +∞. Pour limx→2 (x² – 4)/(x – 2), on factorise le numérateur : x² – 4 = (x – 2)(x + 2), donc pour x ≠ 2, l’expression vaut (x-2)(x+2)/(x-2) = x + 2, dont la limite quand x → 2 est 2 + 2 = 4.
3. Le dénominateur x – 2 s’annule en x = 2, donc Df = ℝ\{2}. En x = 2 : le numérateur vaut 4 + 3 = 7 > 0. Pour x → 2⁺, (x-2) → 0⁺ donc f(x) → +∞ ; pour x → 2⁻, f(x) → -∞. Aux infinis, f(x) ≈ x²/x = x, donc limx→+∞ f(x) = +∞ et limx→-∞ f(x) = -∞. Division euclidienne : x² + 3 = (x – 2)(x + 2) + 7, car (x-2)(x+2) = x² – 4 et x² – 4 + 7 = x² + 3. Donc f(x) = x + 2 + 7/(x – 2). Comme 7/(x-2) tend vers 0 en ±∞, la droite y = x + 2 est asymptote oblique à (Cf), et la droite x = 2 est asymptote verticale.
4. Le discriminant de x² – 2x + 5 vaut Δ = 4 – 20 = -16 < 0, donc ce trinôme (de coefficient dominant positif) est strictement positif pour tout x réel : la racine carrée est donc toujours définie et Df = ℝ. En +∞ : f(x)/x = √(1 – 2/x + 5/x²) → 1, donc a = 1. Puis f(x) – x = (x² – 2x + 5 – x²)/(√(x²-2x+5) + x) = (-2x + 5)/(√(x²-2x+5) + x), qui tend vers -2x/(2x) = -1 quand x → +∞. Donc y = x – 1 est asymptote oblique en +∞. En -∞ (en posant x = -t, t → +∞) : f(x)/x → -1, donc a = -1, et f(x) + x → 1, donc y = -x + 1 est asymptote oblique en -∞. Ce sont bien de véritables asymptotes obliques (les limites sont finies), pas de simples branches paraboliques.
5. On calcule f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2), qui s’annule en x = 0 et x = 2. Ce produit (coefficient dominant positif) est positif à l’extérieur de [0 ; 2] et négatif à l’intérieur : f'(x) > 0 sur ]-∞ ; 0[, f'(x) < 0 sur ]0 ; 2[, f'(x) > 0 sur ]2 ; +∞[. Donc f est croissante sur ]-∞ ; 0], décroissante sur [0 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[. On a f(0) = 2 (maximum local) et f(2) = 8 – 12 + 2 = -2 (minimum local). Comme f est un polynôme de degré 3 à coefficient dominant positif, limx→+∞ f(x) = +∞ et limx→-∞ f(x) = -∞.
6. On peut écrire f(x) = x – 1/x pour x ≠ 0. Parité : f(-x) = -x – 1/(-x) = -x + 1/x = -(x – 1/x) = -f(x), donc f est impaire. Limites : quand x → 0⁺, -1/x → -∞, donc f(x) → -∞ ; quand x → 0⁻, -1/x → +∞, donc f(x) → +∞. Quand x → +∞ ou x → -∞, -1/x → 0, donc f(x) – x → 0 : la droite y = x est asymptote oblique en +∞ et en -∞, et la droite x = 0 est asymptote verticale. Dérivée : f'(x) = 1 + 1/x² (car la dérivée de -1/x est 1/x²), qui est strictement positive pour tout x ≠ 0. Donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0[ et strictement croissante sur ]0 ; +∞[ (il s’agit de deux branches distinctes, séparées par l’asymptote verticale, donc on ne peut pas dire que f est croissante sur ℝ* tout entier).
7. 1) On a f(x) = x + 1 + 1/(x-1). Quand x → 1⁻, 1/(x-1) → -∞ donc f(x) → -∞ ; quand x → 1⁺, 1/(x-1) → +∞ donc f(x) → +∞ : la droite x = 1 est asymptote verticale. Quand x → ±∞, 1/(x-1) → 0, donc f(x) – (x+1) → 0 : la droite y = x + 1 est asymptote oblique en +∞ et en -∞. Aux infinis, f(x) → +∞ quand x → +∞ et f(x) → -∞ quand x → -∞. 2) f'(x) = 1 – 1/(x-1)² = [(x-1)² – 1] / (x-1)² = (x² – 2x)/(x-1)² = x(x-2)/(x-1)². Le dénominateur est toujours strictement positif (pour x ≠ 1). Le numérateur x(x-2) est positif pour x < 0 ou x > 2, négatif pour 0 < x < 2 (y compris autour de x = 1, exclu du domaine). On obtient : f croissante sur ]-∞ ; 0], décroissante sur [0 ; 1[, décroissante sur ]1 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[. f(0) = 0 + 1 + 1/(-1) = 1 - 1 = 0 (maximum local) et f(2) = 2 + 1 + 1/1 = 4 (minimum local). 3) Sur ]-∞ ; 1[, f croît de -∞ à 0 (maximum atteint en x = 0) puis décroît de 0 à -∞ (limite en 1⁻) : cette « bosse » prend chaque valeur strictement négative deux fois, la valeur 0 une seule fois (en x = 0), et aucune valeur strictement positive. Sur ]1 ; +∞[, f décroît de +∞ à 4 (minimum atteint en x = 2) puis croît de 4 à +∞ : ce « creux » prend chaque valeur strictement supérieure à 4 deux fois, la valeur 4 une seule fois (en x = 2), et aucune valeur strictement inférieure à 4. En combinant les deux morceaux : pour m < 0, l'équation a exactement 2 solutions ; pour m = 0, exactement 1 solution (x = 0) ; pour 0 < m < 4, aucune solution ; pour m = 4, exactement 1 solution (x = 2) ; pour m > 4, exactement 2 solutions.
