I. Fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre appelé coefficient de la fonction. Pour calculer l’image d’un nombre par cette fonction, on remplace x par ce nombre.
Exemple : soit f(x) = 3x. L’image de 2 est f(2) = 3 × 2 = 6. L’image de -4 est f(-4) = 3 × (-4) = -12.
II. Représentation graphique d’une fonction linéaire
La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = ax est une droite qui passe toujours par l’origine O du repère. Le nombre a est appelé coefficient directeur ou pente de la droite : plus |a| est grand, plus la droite est « raide ».
III. Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres. Le nombre a est le coefficient directeur (la pente) et le nombre b est l’ordonnée à l’origine. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, avec b = 0.
Exemple : soit g(x) = -2x + 5. On a g(0) = -2 × 0 + 5 = 5 et g(3) = -2 × 3 + 5 = -1.
IV. Représentation graphique d’une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine f(x) = ax + b est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b) : b est donc appelé l’ordonnée à l’origine. Le coefficient a indique de combien la droite « monte » ou « descend » lorsque x augmente de 1.
V. Méthode : déterminer une fonction affine à partir de deux points
Pour déterminer une fonction affine f(x) = ax + b connaissant deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) de sa représentation graphique, on calcule d’abord le coefficient directeur a = (yB – yA) / (xB – xA), puis on utilise l’un des deux points pour calculer b.
Exemple : soient A(0 ; 2) et B(4 ; 10). On calcule a = (10 – 2) / (4 – 0) = 8 / 4 = 2. Comme A a pour abscisse 0, on lit directement b = 2. Donc f(x) = 2x + 2.
Exercices
Exercice 1. Soit f(x) = 3x. Calculer f(2) et f(-4).
Exercice 2. Soit g(x) = -2x + 5. Calculer g(0) et g(3).
Exercice 3. La fonction h(x) = 4x – 1 est-elle linéaire ou affine ? Justifier.
Exercice 4. Une fonction affine f vérifie f(0) = 3 et f(2) = 11. Déterminer f(x).
Exercice 5. Soit f(x) = -x + 2. Donner les coordonnées de deux points de sa représentation graphique.
Corrigés
Corrigé 1. f(2) = 3 × 2 = 6 ; f(-4) = 3 × (-4) = -12.
Corrigé 2. g(0) = -2 × 0 + 5 = 5 ; g(3) = -2 × 3 + 5 = -1.
Corrigé 3. h(x) = 4x – 1 est une fonction affine (et non linéaire), car son ordonnée à l’origine vaut -1, qui est différent de 0.
Corrigé 4. a = (f(2) – f(0)) / (2 – 0) = (11 – 3) / 2 = 4. Comme f(0) = b = 3, on obtient f(x) = 4x + 3.
Corrigé 5. Pour x = 0 : f(0) = 2, d’où le point (0 ; 2). Pour x = 2 : f(2) = 0, d’où le point (2 ; 0).
