Ce chapitre reprend et approfondit les notions fondamentales sur les fonctions numériques : domaine de définition, parité, monotonie, éléments de symétrie, et opérations sur les fonctions.
Domaine de définition
Le domaine de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. Exemples : pour f(x)=1/(x-2), Df=ℝ\{2} ; pour f(x)=√(x-1), Df=[1;+∞[.
Parité d’une fonction
Une fonction f de domaine Df symétrique par rapport à 0 est : paire si pour tout x∈Df, f(-x)=f(x) (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) ; impaire si pour tout x∈Df, f(-x)=-f(x) (courbe symétrique par rapport à l’origine du repère).
Sens de variation (monotonie)
f est croissante sur un intervalle I si pour tous a,b∈I, a≤b ⟹ f(a)≤f(b). f est décroissante sur I si a≤b ⟹ f(a)≥f(b). Pour étudier le sens de variation, on compare souvent le taux d’accroissement [f(b)-f(a)]/(b-a) à zéro, pour a≠b dans I.
Éléments de symétrie de la courbe
La courbe Cf admet le point Ω(a;b) comme centre de symétrie si pour tout x tel que (2a-x)∈Df, f(2a-x)+f(x)=2b. La courbe Cf admet la droite d’équation x=a comme axe de symétrie si pour tout x tel que (2a-x)∈Df, f(2a-x)=f(x).
Exercices
Exercice 1 — Déterminer le domaine de définition de f(x) = (x+1)/(x²-4)
Exercice 2 — Déterminer le domaine de définition de g(x) = √(3-x)
Exercice 3 — Étudier la parité de f(x) = x⁴-2x²
Exercice 4 — Étudier la parité de g(x) = x³-x
Exercice 5 — Montrer que la fonction f(x)=x² est croissante sur [0;+∞[
Exercice 6 — Montrer, en utilisant le taux d’accroissement, que f(x)=1/x est décroissante sur ]0;+∞[
Exercice 7 — Montrer que le point Ω(1;0) est centre de symétrie de la courbe de f(x)=(x-1)³
Corrigés
Corrigé 1 — Df = ℝ\{-2;2} (on exclut les valeurs qui annulent x²-4)
Corrigé 2 — Dg = ]-∞;3] (il faut 3-x≥0)
Corrigé 3 — Df=ℝ symétrique par rapport à 0. f(-x)=(-x)⁴-2(-x)²=x⁴-2x²=f(x), donc f est paire
Corrigé 4 — Dg=ℝ symétrique par rapport à 0. g(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-g(x), donc g est impaire
Corrigé 5 — Pour 0≤a Corrigé 6 — Pour 0 Corrigé 7 — Domaine symétrique par rapport à 1. f(2-x)+f(x) = (2-x-1)³+(x-1)³ = (1-x)³+(x-1)³ = -(x-1)³+(x-1)³ = 0 = 2×0, donc Ω(1;0) est bien centre de symétrie
