Ce chapitre reprend et approfondit les notions de base sur les fonctions numériques d’une variable réelle, indispensables à l’étude de toutes les fonctions rencontrées cette année (polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée, fonctions trigonométriques). On y étudie l’ensemble de définition, la parité, la périodicité, le sens de variation à l’aide du taux d’accroissement, les extremums, ainsi que les fonctions associées, avec des méthodes rigoureuses de démonstration à partir des définitions.
Ensemble de définition d’une fonction numérique
Soit f une fonction numérique de la variable réelle. L’ensemble de définition de f, noté Df, est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. On exclut notamment les valeurs qui annulent un dénominateur et celles qui rendent négative une expression sous une racine carrée.
Exemple traité : Soit f(x) = √(x-2) / (x-5). Il faut x-2 ≥ 0, soit x ≥ 2, et x-5 ≠ 0, soit x ≠ 5. Donc Df = [2;5[ ∪ ]5;+∞[. Vérification : pour x=3, f(3) = √1/(3-5) = 1/(-2) = -0,5, bien défini ; pour x=5, le dénominateur s’annule, f(5) n’existe pas, conformément à Df.
Parité et périodicité d’une fonction
Une fonction f de domaine symétrique par rapport à 0 est paire lorsque ∀x∈Df, f(-x) = f(x) (graphe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) ; elle est impaire lorsque ∀x∈Df, f(-x) = -f(x) (graphe symétrique par rapport à l’origine O). f est périodique de période T (T>0) lorsque ∀x∈Df, x+T∈Df et f(x+T) = f(x).
Exemple traité : Soit f(x) = x⁴-3x²+1, sur ℝ. f(-x) = (-x)⁴-3(-x)²+1 = x⁴-3x²+1 = f(x) : f est paire. Soit g(x) = x³-4x, sur ℝ. g(-x) = (-x)³-4(-x) = -x³+4x = -(x³-4x) = -g(x) : g est impaire.
Sens de variation d’une fonction : taux d’accroissement
Le taux d’accroissement de f entre deux réels distincts a et b d’un intervalle I est T(a,b) = (f(b)-f(a))/(b-a). f est croissante sur I lorsque a<b entraîne f(a) ≤ f(b), ce qui équivaut à T(a,b) ≥ 0 pour tous a≠b de I. f est décroissante lorsque a<b entraîne f(a) ≥ f(b), soit T(a,b) ≤ 0.
Exemple traité : Montrons que f(x)=x² est strictement croissante sur [0;+∞[. Soient a,b∈[0;+∞[, a<b. T(a,b) = (b²-a²)/(b-a) = (b-a)(b+a)/(b-a) = a+b. Comme b>a≥0, on a a+b>0. Donc T(a,b)>0 pour tout a<b : f est strictement croissante sur [0;+∞[.
Extremums d’une fonction
Soit f définie sur I et a∈I. f admet en a un maximum (resp. minimum) sur I lorsque, pour tout x∈I, f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)). f(a) est alors la valeur maximale (resp. minimale) de f sur I.
Exemple traité : Soit f(x) = -(x-3)²+5, sur ℝ. Pour tout x, (x-3)² ≥ 0, donc -(x-3)² ≤ 0, donc f(x) ≤ 5. De plus f(3) = -0+5 = 5. Donc pour tout x∈ℝ, f(x) ≤ f(3) = 5 : f admet un maximum global égal à 5, atteint en x=3.
Fonctions associées et opérations sur les variations
À partir de f, on construit des fonctions associées dont les variations se déduisent de celles de f : x ↦ f(x)+k a les mêmes variations que f ; x ↦ f(x+a) a les mêmes variations que f, décalées de -a ; x ↦ -f(x) a des variations opposées à f ; x ↦ k×f(x) conserve les variations si k>0, les inverse si k<0.
Exemple traité : u(x)=x² est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[. Étudions g(x) = -2(x-3)²+1. Posons h(x)=(x-3)² = u(x-3) : h est décroissante sur ]-∞;3] et croissante sur [3;+∞[ (translation de 3). Comme -2<0, -2h(x) a des variations opposées : croissante sur ]-∞;3], décroissante sur [3;+∞[. Ajouter 1 ne change rien. Donc g est croissante sur ]-∞;3] et décroissante sur [3;+∞[, avec un maximum en x=3 valant g(3) = 1.
Exercices
1. Déterminer l’ensemble de définition de f(x) = (2x+1)/(x²-9).
2. Déterminer l’ensemble de définition de g(x) = √(3-2x) + 1/(x+1).
3. Étudier la parité de f(x) = 3x⁴ – 2x² + 5, puis celle de g(x) = 2x³ – 7x.
4. En utilisant le taux d’accroissement, démontrer que f(x) = -3x + 7 est strictement décroissante sur ℝ.
5. Soit f(x) = x² – 6x + 11. En écrivant f(x) sous forme canonique, déterminer et démontrer rigoureusement le minimum de f sur ℝ.
6. En utilisant le taux d’accroissement, démontrer que f(x) = 1/x est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
7. (Synthèse) Soit f(x) = 2√(x-1) – 3. a) Déterminer Df. b) Déterminer le sens de variation de f sur Df à l’aide des fonctions associées, en justifiant. c) En déduire le minimum de f et où il est atteint.
Corrigés
1. Il faut x²-9 ≠ 0, soit (x-3)(x+3) ≠ 0, soit x ≠ 3 et x ≠ -3. Donc Df = ]-∞;-3[ ∪ ]-3;3[ ∪ ]3;+∞[.
2. Conditions : 3-2x ≥ 0 ⟺ x ≤ 3/2, et x+1 ≠ 0 ⟺ x ≠ -1. Donc Dg = ]-∞;-1[ ∪ ]-1;3/2].
3. f(x)=3x⁴-2x²+5, Df=ℝ (symétrique). f(-x) = 3(-x)⁴-2(-x)²+5 = 3x⁴-2x²+5 = f(x) : f est paire. g(x)=2x³-7x, Dg=ℝ. g(-x) = 2(-x)³-7(-x) = -2x³+7x = -(2x³-7x) = -g(x) : g est impaire.
4. Soient a,b∈ℝ, a<b, donc b-a>0. T(a,b) = [(-3b+7)-(-3a+7)]/(b-a) = (-3b+3a)/(b-a) = -3(b-a)/(b-a) = -3. Le taux d’accroissement vaut -3 < 0 pour tous a<b, donc f est strictement décroissante sur ℝ.
5. f(x) = x²-6x+11 = (x-3)²-9+11 = (x-3)²+2 (vérification : (x-3)²+2 = x²-6x+9+2 = x²-6x+11, correct). Pour tout x∈ℝ, (x-3)² ≥ 0, donc f(x) ≥ 2. De plus f(3) = 0+2 = 2. Donc pour tout x∈ℝ, f(x) ≥ f(3) = 2 : f admet un minimum global égal à 2, atteint en x=3.
6. Soient a,b∈]0;+∞[, a<b. T(a,b) = (1/b-1/a)/(b-a) = [(a-b)/(ab)]/(b-a) = -(b-a)/(ab(b-a)) = -1/(ab). Comme a>0 et b>0, ab>0, donc -1/(ab) < 0. Le taux d’accroissement est strictement négatif pour tous a<b : f est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
7. a) Il faut x-1 ≥ 0, soit x ≥ 1. Df = [1;+∞[. b) La fonction u(x)=x-1 est croissante (translation), et la fonction racine carrée t↦√t est croissante sur [0;+∞[, donc v(x)=√(x-1) est croissante sur [1;+∞[ (composée de deux fonctions croissantes : si 1≤x₁<x₂, alors x₁-1<x₂-1, donc √(x₁-1)<√(x₂-1)). Multiplier par 2>0 conserve la croissance, et soustraire 3 (translation verticale) ne change rien : f est strictement croissante sur [1;+∞[. c) f étant croissante sur [1;+∞[, son minimum est atteint au plus petit élément du domaine, x=1 : f(1) = 2√0-3 = -3. Donc pour tout x≥1, f(x) ≥ f(1) = -3 : f admet un minimum global égal à -3, atteint en x=1.
