La géométrie analytique de l’espace étend au repère à trois dimensions les méthodes de représentation par équations vues dans le plan : elle permet de caractériser droites et plans par des équations et d’étudier leurs positions relatives.
Équation cartésienne d’un plan
Un plan P de l’espace est caractérisé par un point A et un vecteur non nul n(a,b,c) normal au plan (orthogonal à tout vecteur du plan). Un point M(x,y,z) appartient à P si, et seulement si, AM · n = 0, ce qui conduit à une équation cartésienne de la forme a x + b y + c z + d = 0, où d = −(a xA + b yA + c zA).
Exemple : Le plan passant par A(1,0,2) de vecteur normal n(2,−1,3) a pour équation 2x − y + 3z − 8 = 0.
Représentation paramétrique d’une droite
Une droite D de l’espace est caractérisée par un point A(xA,yA,zA) et un vecteur directeur u(a,b,c) non nul. Un point M(x,y,z) appartient à D si, et seulement si, il existe un réel t tel que x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct.
Exemple : La droite passant par A(1,2,0) de vecteur directeur u(3,−1,2) a pour représentation paramétrique x = 1+3t, y = 2−t, z = 2t (t ∈ ℝ).
Positions relatives de droites et de plans
Deux plans de vecteurs normaux n et n′ sont parallèles si n et n′ sont colinéaires ; ils sont perpendiculaires si n · n′ = 0.
Une droite et un plan (vecteur directeur u, vecteur normal n) : la droite est parallèle au plan si u · n = 0 ; elle est orthogonale au plan si u et n sont colinéaires.
Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont parallèles si u et v sont colinéaires ; elles sont orthogonales si u · v = 0.
Distance d’un point à un plan
Dans un repère orthonormé, la distance du point M0(x0,y0,z0) au plan P d’équation a x + b y + c z + d = 0 est d(M0,P) = |a x0 + b y0 + c z0 + d| / √(a² + b² + c²).
Exemple : Distance de M(1,1,1) au plan 2x − y + 2z − 3 = 0 : d = |2 − 1 + 2 − 3| / 3 = 0 (le point appartient au plan).
Exercices
Exercice 1 — Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(0,1,−1) de vecteur normal n(1,2,−2).
Exercice 2 — Le point B(2,−1,3) appartient-il au plan d’équation x + 2y − z + 3 = 0 ?
Exercice 3 — Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A(2,0,1) et de vecteur directeur u(1,−1,3).
Exercice 4 — Les plans d’équations 2x − y + z − 1 = 0 et 4x − 2y + 2z + 5 = 0 sont-ils parallèles ?
Exercice 5 — La droite de vecteur directeur u(1,1,2) est-elle parallèle au plan de vecteur normal n(1,−3,1) ?
Exercice 6 — Calculer la distance du point M(0,0,0) au plan d’équation x + 2y + 2z − 6 = 0.
Exercice 7 — Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(1,1,1), B(2,0,1) et C(1,2,0).
Corrigés
Corrigé 1 — d = −(0 + 2×1 − 2×(−1)) = −4, donc l’équation est x + 2y − 2z − 4 = 0.
Corrigé 2 — En substituant : 2 + 2×(−1) − 3 + 3 = 0 : B appartient au plan.
Corrigé 3 — x = 2+t, y = −t, z = 1+3t (t ∈ ℝ).
Corrigé 4 — Les vecteurs normaux n(2,−1,1) et n′(4,−2,2) = 2n sont colinéaires : les plans sont parallèles (et distincts, car les équations réduites ne coïncident pas).
Corrigé 5 — u · n = 1×1 + 1×(−3) + 2×1 = 1 − 3 + 2 = 0 : la droite est parallèle au plan.
Corrigé 6 — d = |0+0+0−6| / √(1+4+4) = 6/3 = 2.
Corrigé 7 — AB = (1,−1,0), AC = (0,1,−1). Un vecteur normal est n = AB ∧ AC = (1,1,1). L’équation du plan est donc (x−1) + (y−1) + (z−1) = 0, soit x + y + z − 3 = 0.
