Ce dernier chapitre applique les vecteurs et le produit scalaire de l’espace à l’étude de trois objets fondamentaux de la géométrie analytique : le plan (équation cartésienne), la droite (représentation paramétrique), et la sphère (équation cartésienne). On y étudie également les positions relatives de ces objets entre eux, ainsi que le calcul de la distance d’un point à un plan, outil essentiel pour étudier l’intersection d’une sphère et d’un plan.
Norme, distance et rappels vectoriels
Rappel. Dans un repère orthonormé (O ; i, j, k) de l’espace, pour un vecteur u(x ; y ; z), la norme vaut ‖u‖ = √(x² + y² + z²). Pour deux points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), la distance AB est la norme du vecteur AB : AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²].
Exemple entièrement traité. Soient A(1 ; 2 ; -3) et B(4 ; -2 ; 0). On calcule AB = √[(4-1)² + (-2-2)² + (0-(-3))²] = √[3² + (-4)² + 3²] = √[9 + 16 + 9] = √34.
Équation cartésienne d’un plan
Théorème. Un plan P passant par A(x₀ ; y₀ ; z₀) et de vecteur normal n(a ; b ; c) (non nul) a pour équation cartésienne a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0, que l’on développe sous la forme ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, toute équation ax + by + cz + d = 0 (avec a, b, c non tous nuls) représente un plan de vecteur normal n(a ; b ; c). Pour déterminer un vecteur normal à un plan défini par trois points A, B, C, on cherche n(a;b;c) vérifiant n·AB = 0 et n·AC = 0.
Exemple 1. Déterminons l’équation du plan P passant par A(1 ; -1 ; 2) et de vecteur normal n(2 ; 3 ; -1). L’équation s’écrit 2(x – 1) + 3(y + 1) – 1(z – 2) = 0, soit 2x – 2 + 3y + 3 – z + 2 = 0, soit 2x + 3y – z + 3 = 0. On vérifie avec A : 2×1 + 3×(-1) – 2 + 3 = 2 – 3 – 2 + 3 = 0.
Exemple 2 (plan défini par trois points). Déterminons l’équation du plan passant par A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). On calcule AB(-1;1;0) et AC(-1;0;1). On cherche n(a;b;c) tel que n·AB = -a+b = 0 (donc b=a) et n·AC = -a+c = 0 (donc c=a). En choisissant a = 1, on obtient n(1;1;1). L’équation du plan est alors 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0, soit x + y + z – 1 = 0. On vérifie : pour B, 0+1+0=1 ; pour C, 0+0+1=1 ; les deux égalités sont vérifiées.
Représentation paramétrique d’une droite
Définition. Une droite D passant par A(x₀ ; y₀ ; z₀) et de vecteur directeur u(a ; b ; c) (non nul) admet pour représentation paramétrique : x = x₀ + t×a, y = y₀ + t×b, z = z₀ + t×c, où t décrit ℝ.
Exemple entièrement traité. Soit D la droite passant par A(2 ; -1 ; 3) et de vecteur directeur u(1 ; -2 ; 4) : une représentation paramétrique est x = 2 + t, y = -1 – 2t, z = 3 + 4t (t ∈ ℝ). Le point M(4 ; -5 ; 11) appartient-il à D ? De la première équation, x = 4 donne 4 = 2 + t, donc t = 2. On vérifie les deux autres coordonnées avec t = 2 : y = -1 – 2×2 = -5 (ce qui correspond bien), et z = 3 + 4×2 = 11 (ce qui correspond aussi). Donc M appartient bien à D, obtenu pour t = 2.
Positions relatives de droites et de plans
Méthode. Deux plans de vecteurs normaux n₁ et n₂ sont parallèles si n₁ et n₂ sont colinéaires (confondus si en plus un point de l’un appartient à l’autre), sécants sinon (leur intersection est alors une droite). Une droite D de vecteur directeur u et un plan P de vecteur normal n sont parallèles si u·n = 0 (D incluse dans P si en plus un point de D appartient à P) ; sinon, D et P sont sécants en un point unique, que l’on trouve en substituant le paramétrage de D dans l’équation de P.
Exemple entièrement traité. Soit D : x = 1 + t, y = 2 – t, z = 3 + 2t, et P : x + y + z – 4 = 0. Le vecteur directeur de D est u(1 ; -1 ; 2) et le vecteur normal de P est n(1 ; 1 ; 1) ; on a u·n = 1 – 1 + 2 = 2 ≠ 0, donc D et P ne sont pas parallèles : ils sont sécants en un unique point. On substitue le paramétrage dans l’équation de P : (1+t) + (2-t) + (3+2t) – 4 = 0, soit 1 + t + 2 – t + 3 + 2t – 4 = 2 + 2t = 0, d’où t = -1. On obtient alors x = 1 – 1 = 0, y = 2 + 1 = 3, z = 3 – 2 = 1. Le point d’intersection est donc I(0 ; 3 ; 1).
Équation d’une sphère et intersection avec un plan
Définition. La sphère de centre Ω(x₀ ; y₀ ; z₀) et de rayon R > 0 a pour équation cartésienne (x – x₀)² + (y – y₀)² + (z – z₀)² = R². Distance d’un point à un plan. Pour un plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 et un point A(xA ; yA ; zA), la distance de A à P vaut d(A, P) = |a×xA + b×yA + c×zA + d| / √(a² + b² + c²). Intersection sphère-plan : en notant d la distance du centre Ω au plan P, si d > R l’intersection est vide ; si d = R, P est tangent à la sphère (un seul point commun) ; si d < R, l'intersection est un cercle de centre H (projeté orthogonal de Ω sur P) et de rayon r = √(R² – d²).
Exemple entièrement traité. Soit la sphère S de centre Ω(1 ; -2 ; 3) et de rayon R = 5, d’équation (x-1)² + (y+2)² + (z-3)² = 25, et le plan P : 2x – y + 2z – 3 = 0. Le vecteur normal de P est (2 ; -1 ; 2), de norme √(4+1+4) = 3. La distance de Ω à P vaut d(Ω, P) = |2×1 – (-2) + 2×3 – 3| / 3 = |2 + 2 + 6 – 3| / 3 = 7/3. Comme 7/3 ≈ 2,33 < 5 = R, le plan P coupe la sphère S selon un cercle, de rayon r = √(R² – d²) = √(25 – 49/9) = √(225/9 – 49/9) = √(176/9) = √176 / 3 = (4√11)/3 (car 176 = 16×11).
Exercices
1. Soient A(2 ; -1 ; 4) et B(-1 ; 3 ; 0). Calculer les coordonnées du vecteur AB, sa norme, ainsi que la distance AB (vérifier la cohérence des deux résultats).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(3 ; 0 ; -2) et de vecteur normal n(1 ; -2 ; 4).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par A(-1 ; 2 ; 1) et de vecteur directeur u(3 ; 0 ; -2). Le point B(5 ; 2 ; -5) appartient-il à D ?
4. Étudier la position relative de la droite D : x = 1 + 2t, y = -t, z = 2 + t (t ∈ ℝ) et du plan P : 3x + y – z – 1 = 0. Préciser, le cas échéant, les coordonnées du point d’intersection.
5. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S de centre Ω(2 ; -3 ; 1) et de rayon R = 4. Le point A(4 ; -3 ; 3) appartient-il à cette sphère ?
6. On considère la sphère S d’équation x² + y² + z² – 4x + 2y – 6z + 5 = 0. Déterminer, par la méthode de complétion des carrés, les coordonnées de son centre ainsi que son rayon.
7. Soit la sphère S de centre Ω(1 ; 1 ; 1) et de rayon R = 3, et le plan P d’équation x + 2y – 2z + d = 0, où d est un paramètre réel. 1) Exprimer la distance de Ω à P en fonction de d. 2) Déterminer les valeurs de d pour lesquelles P est tangent à S. 3) Pour d = 1, préciser la nature de l’intersection P ∩ S et calculer, le cas échéant, le rayon du cercle d’intersection.
Corrigés
1. Le vecteur AB a pour coordonnées (-1-2 ; 3-(-1) ; 0-4) = (-3 ; 4 ; -4). Sa norme vaut ‖AB‖ = √((-3)² + 4² + (-4)²) = √(9+16+16) = √41. La distance AB, égale par définition à la norme du vecteur AB, vaut donc également √41 : les deux résultats sont bien cohérents.
2. L’équation cartésienne du plan est 1×(x – 3) + (-2)×(y – 0) + 4×(z – (-2)) = 0, soit x – 3 – 2y + 4z + 8 = 0, soit, après simplification, x – 2y + 4z + 5 = 0.
3. Une représentation paramétrique de D est x = -1 + 3t, y = 2, z = 1 – 2t, avec t ∈ ℝ (on remarque que la coordonnée y reste constante et égale à 2 pour tous les points de D, puisque la deuxième coordonnée du vecteur directeur u est nulle). Pour B(5 ; 2 ; -5) : la coordonnée y de B vaut bien 2, ce qui est cohérent. De la première équation, 5 = -1 + 3t donne t = 2. On vérifie alors la troisième coordonnée avec t = 2 : z = 1 – 2×2 = -3. Or B a pour troisième coordonnée -5, différente de -3 : donc B n’appartient pas à D.
4. Le vecteur directeur de D est u(2 ; -1 ; 1) et le vecteur normal de P est n(3 ; 1 ; -1). On calcule u·n = 2×3 + (-1)×1 + 1×(-1) = 6 – 1 – 1 = 4 ≠ 0 : la droite D n’est donc pas parallèle au plan P, ils sont sécants en un point unique. On substitue le paramétrage de D dans l’équation de P : 3(1+2t) + (-t) – (2+t) – 1 = 0, soit 3 + 6t – t – 2 – t – 1 = 0, soit 0 + 4t = 0, d’où t = 0. On obtient alors x = 1, y = 0, z = 2. Le point d’intersection est donc I(1 ; 0 ; 2) (on vérifie : 3×1 + 0 – 2 – 1 = 0, ce qui est correct).
5. L’équation cartésienne de la sphère S est (x – 2)² + (y + 3)² + (z – 1)² = 16. Pour le point A(4 ; -3 ; 3), on calcule (4-2)² + (-3+3)² + (3-1)² = 2² + 0² + 2² = 4 + 0 + 4 = 8. Comme 8 ≠ 16, le point A n’appartient pas à la sphère (la distance ΩA vaut √8 = 2√2 ≈ 2,83, ce qui est inférieur au rayon 4 : A est situé à l’intérieur de la sphère).
6. On regroupe les termes en x, y et z, puis on complète chaque carré : x² – 4x = (x-2)² – 4 ; y² + 2y = (y+1)² – 1 ; z² – 6z = (z-3)² – 9. L’équation devient donc (x-2)² – 4 + (y+1)² – 1 + (z-3)² – 9 + 5 = 0, soit (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² + (-4-1-9+5) = 0, soit (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² – 9 = 0, c’est-à-dire (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 9. On reconnaît l’équation d’une sphère de centre Ω(2 ; -1 ; 3) et de rayon R = 3 (car 9 = 3²).
7. 1) Le vecteur normal du plan P est n(1 ; 2 ; -2), de norme √(1+4+4) = √9 = 3. La distance de Ω(1;1;1) à P vaut d(Ω,P) = |1×1 + 2×1 – 2×1 + d| / 3 = |1 + 2 – 2 + d| / 3 = |1 + d| / 3. 2) P est tangent à S lorsque cette distance est égale au rayon R = 3, soit |1+d|/3 = 3, c’est-à-dire |1+d| = 9. Cette équation donne 1+d = 9 ou 1+d = -9, soit d = 8 ou d = -10. 3) Pour d = 1, la distance vaut |1+1|/3 = 2/3. Comme 2/3 < 3 = R, le plan P coupe la sphère S selon un cercle, de rayon r = √(R² – d(Ω,P)²) = √(9 – 4/9) = √(81/9 – 4/9) = √(77/9) = √77 / 3.
