Inégalité triangulaire et médiatrice d’un segment – Cours et exercices (1AC)

I. Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, et supérieure à leur différence. C’est l’inégalité triangulaire.

Pour un triangle ABC : AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC.

Si l’égalité AB = AC + CB est vérifiée, alors A, B et C sont alignés (le « triangle » est aplati).

II. Construire un triangle connaissant ses trois côtés

Pour qu’un triangle de côtés a, b et c existe, il faut que le plus grand côté soit inférieur à la somme des deux autres. On vérifie l’inégalité triangulaire avant de tracer.

Construction : on trace un côté, puis on trace deux arcs de cercle (au compas) centrés sur les extrémités, de rayons égaux aux deux autres côtés ; leur intersection donne le troisième sommet.

III. Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.

Propriété caractéristique : un point appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si il est équidistant de A et de B (MA = MB).

On construit la médiatrice au compas : on trace deux arcs de cercle de même rayon centrés en A et en B (rayon supérieur à la moitié de AB) ; leurs points d’intersection définissent la médiatrice.

Exercices

1. Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 10 cm ? Justifier à l’aide de l’inégalité triangulaire.
2. Peut-on construire un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 9 cm ? Justifier.
3. Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 6 cm.
4. Construire un segment [AB] de 7 cm, puis sa médiatrice au compas.
5. M est un point de la médiatrice de [AB]. Sachant que MA = 5,3 cm, que vaut MB ? Justifier.

Corrigés

1. Non : le plus grand côté (10 cm) devrait être inférieur à 4 + 5 = 9 cm, ce qui est faux (10 > 9). Le triangle n’existe pas.
2. Oui : le plus grand côté (9 cm) est inférieur à 6 + 8 = 14 cm. L’inégalité triangulaire est vérifiée, le triangle existe.
3. On trace [BC] = 4 cm, puis un arc de rayon 5 cm centré en B et un arc de rayon 6 cm centré en C ; leur intersection donne A.
4. On trace [AB] = 7 cm, puis deux arcs de même rayon (par exemple 5 cm) centrés en A et B ; la droite passant par leurs deux points d’intersection est la médiatrice.
5. MB = 5,3 cm, car tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B (MA = MB).