I. Qu’est-ce qu’une situation de proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Par exemple, si un article coûte 3 dh l’unité, le prix total est proportionnel à la quantité achetée : 2 articles coûtent 6 dh, 3 articles coûtent 9 dh, etc.
Pour reconnaître une situation de proportionnalité, on organise les données dans un tableau et on vérifie que le rapport entre les deux lignes est constant d’une colonne à l’autre.
II. Le coefficient de proportionnalité
Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier chaque valeur de la première grandeur pour obtenir la valeur correspondante de la deuxième grandeur.
Dans un tableau de proportionnalité, ce coefficient est le même pour toutes les colonnes. Pour le calculer, on divise une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne.
III. Le produit en croix (règle de trois)
Quand trois valeurs d’un tableau de proportionnalité sont connues et qu’on cherche la quatrième, on utilise le produit en croix, aussi appelé règle de trois.
Si a, b, c, x sont organisés dans un tableau de proportionnalité (a et b sur la première ligne, c et x sur la deuxième ligne, dans les mêmes colonnes), alors les produits en croix sont égaux : a × x = b × c, ce qui permet de calculer la valeur manquante x = (b × c) ÷ a.
IV. Représentation graphique d’une situation de proportionnalité
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, les points dont les coordonnées sont les valeurs correspondantes sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.
Inversement, si le graphique représentant deux grandeurs est une droite passant par l’origine, alors ces deux grandeurs sont proportionnelles.
V. Pourcentages et proportionnalité
Un pourcentage est un cas particulier de proportionnalité : dire qu’une quantité B représente t % d’une quantité A signifie que B = (t ÷ 100) × A.
Pour calculer un pourcentage d’une quantité, on peut utiliser le produit en croix en prenant 100 comme référence.
Exercices
Exercice 1 : Un fournisseur vend des cahiers à 8 dh l’unité. Compléter le tableau de proportionnalité pour 1, 3, 5 et 10 cahiers.
Exercice 2 : Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier. Quantité : 2 ; 5 ; 7. Prix (dh) : 6 ; 15 ; 21.
Exercice 3 : Une voiture parcourt 180 km en 2 heures à vitesse constante. Quelle distance parcourt-elle en 5 heures ?
Exercice 4 : Calculer 15 % de 240 dh.
Exercice 5 : Un gâteau nécessite 250 g de farine pour 4 personnes. Quelle quantité de farine faut-il pour 6 personnes ?
Corrigés
Corrigé 1 : Le coefficient de proportionnalité est 8. 1 cahier : 8 dh ; 3 cahiers : 24 dh ; 5 cahiers : 40 dh ; 10 cahiers : 80 dh.
Corrigé 2 : On calcule les rapports : 6 ÷ 2 = 3 ; 15 ÷ 5 = 3 ; 21 ÷ 7 = 3. Le rapport est constant (égal à 3), donc c’est bien un tableau de proportionnalité.
Corrigé 3 : En 1 heure, la voiture parcourt 180 ÷ 2 = 90 km. En 5 heures, elle parcourt donc 90 × 5 = 450 km (on peut aussi utiliser le produit en croix : 180 ÷ 2 = x ÷ 5, donc x = (180 × 5) ÷ 2 = 450 km).
Corrigé 4 : 15 % de 240 = (15 × 240) ÷ 100 = 36 dh.
Corrigé 5 : Pour 1 personne, il faut 250 ÷ 4 = 62,5 g de farine. Pour 6 personnes, il faut 62,5 × 6 = 375 g (on peut aussi calculer directement : (250 × 6) ÷ 4 = 375 g).
