I. Définitions : sphère et boule
La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance R du point O. C’est une surface : elle représente seulement l’enveloppe, pas l’intérieur.
La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance inférieure ou égale à R du point O. La boule comprend la sphère (sa surface) ET tout l’intérieur.
Le diamètre d’une sphère (ou d’une boule) est un segment qui passe par le centre O et dont les deux extrémités sont sur la sphère. Sa longueur est égale à 2 × R.
II. Section plane d’une sphère
Lorsqu’un plan coupe une sphère, la section obtenue est toujours un cercle.
Si le plan passe par le centre O de la sphère, on obtient un grand cercle : son rayon est égal au rayon R de la sphère, c’est donc le plus grand cercle possible.
Si le plan ne passe pas par le centre O, on obtient un petit cercle : son rayon est strictement inférieur à R.
Sur un globe terrestre, l’équateur est un exemple de grand cercle, alors qu’un parallèle (autre que l’équateur) est un exemple de petit cercle.
III. Aire de la sphère
L’aire de la sphère de rayon R (l’aire de la surface uniquement) se calcule avec la formule suivante :
A = 4 × π × R²
Si R est exprimé en cm, alors A s’exprime en cm² ; si R est exprimé en m, alors A s’exprime en m², et ainsi de suite.
IV. Volume de la boule
Le volume de la boule de rayon R (le solide plein, intérieur compris) se calcule avec la formule suivante :
V = (4/3) × π × R³
Attention à ne pas confondre les deux formules : l’aire concerne la sphère (la surface), le volume concerne la boule (le solide).
V. Méthode : calculer l’aire et le volume à partir du rayon
1) Identifier le rayon R donné par l’énoncé. Si l’énoncé donne le diamètre, calculer d’abord R = diamètre ÷ 2.
2) Pour calculer l’aire, appliquer la formule A = 4 × π × R², en utilisant la valeur de π indiquée par l’énoncé (souvent π ≈ 3,14).
3) Pour calculer le volume, appliquer la formule V = (4/3) × π × R³.
4) Effectuer les calculs dans l’ordre : élever R au carré ou au cube en premier, puis multiplier par π, puis par les autres facteurs.
5) Donner le résultat avec l’unité correcte (cm² ou m² pour une aire, cm³ ou m³ pour un volume), arrondi si l’énoncé le demande.
Exemple : pour une sphère de rayon R = 5 cm (avec π ≈ 3,14), l’aire vaut A = 4 × 3,14 × 25 = 314 cm² et le volume de la boule vaut V = (4/3) × 3,14 × 125 ≈ 523,3 cm³.
Exercices
Exercice 1 : Une sphère a un rayon R = 4 cm. Calculer son aire A (prendre π ≈ 3,14, arrondir au dixième).
Exercice 2 : Une boule a un rayon R = 6 cm. Calculer son volume V (prendre π ≈ 3,14, arrondir au dixième).
Exercice 3 : Le diamètre d’une sphère mesure 10 cm. Calculer son rayon R, puis l’aire A de cette sphère (prendre π ≈ 3,14).
Exercice 4 : L’aire d’une sphère est A = 78,5 cm² (on prend π ≈ 3,14). Calculer le rayon R de cette sphère.
Exercice 5 : Un artisan fabrique des boules en bois de rayon R = 2 cm qu’il doit peindre entièrement. 1) Calculer l’aire A à peindre pour une boule (π ≈ 3,14, arrondir au dixième). 2) Calculer le volume V de bois d’une boule (arrondir au dixième). 3) S’il fabrique 10 boules identiques, quelle surface totale doit-il peindre ?
Corrigés
Corrigé 1 : A = 4 × π × R² = 4 × 3,14 × 4² = 4 × 3,14 × 16 = 200,96 cm² ≈ 201,0 cm².
Corrigé 2 : V = (4/3) × π × R³ = (4/3) × 3,14 × 6³ = (4/3) × 3,14 × 216 = 904,32 cm³ ≈ 904,3 cm³.
Corrigé 3 : R = 10 ÷ 2 = 5 cm. A = 4 × π × R² = 4 × 3,14 × 25 = 314 cm².
Corrigé 4 : A = 4 × π × R² donc R² = A ÷ (4 × π) = 78,5 ÷ (4 × 3,14) = 78,5 ÷ 12,56 = 6,25. R = √6,25 = 2,5 cm.
Corrigé 5 : 1) A = 4 × π × R² = 4 × 3,14 × 2² = 4 × 3,14 × 4 = 50,24 cm² ≈ 50,2 cm². 2) V = (4/3) × π × R³ = (4/3) × 3,14 × 8 = 33,49… ≈ 33,5 cm³. 3) Pour 10 boules, la surface totale à peindre est 10 × 50,24 = 502,4 cm².
