I. Qu’est-ce que la symétrie axiale ?
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [AA’], c’est-à-dire si (d) coupe [AA’] perpendiculairement en son milieu. La droite (d) est appelée l’axe de symétrie. Une figure symétrique à une autre par rapport à (d) est son image miroir : si on pliait la feuille le long de (d), les deux figures se superposeraient exactement.II. Construire le symétrique d’un point
Pour construire le symétrique A’ d’un point A par rapport à une droite (d) :- On trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en un point H.
- On place A’ sur cette perpendiculaire, de l’autre côté de (d), à la même distance de H que A (AH = HA’).
Si un point M appartient à l’axe (d), il est son propre symétrique : M’ = M.
III. Construire le symétrique d’une figure
Pour construire le symétrique d’une figure (triangle, quadrilatère…), il suffit de construire le symétrique de chacun de ses sommets, puis de relier les points obtenus dans le même ordre.
IV. Propriétés de la symétrie axiale
La symétrie axiale conserve :- les longueurs : si A’B’ est le symétrique de AB, alors A’B’ = AB ;
- les mesures des angles ;
- l’alignement des points (si A, B, C sont alignés, alors A’, B’, C’ le sont aussi) ;
- les aires et les périmètres des figures.
V. Axes de symétrie d’une figure
Un axe de symétrie d’une figure est une droite qui partage cette figure en deux parties symétriques l’une de l’autre. Une figure peut avoir aucun, un, plusieurs, voire une infinité d’axes de symétrie.
Le carré possède 4 axes de symétrie, le triangle isocèle en possède 1, et le cercle en possède une infinité (tous ses diamètres).
Exercices
Exercice 1 : Tracer un segment [AB]. Construire le point A’, symétrique de A par rapport à une droite (d) ne passant pas par A ni par B.
Exercice 2 : ABC est un triangle. On construit A’B’C’, son symétrique par rapport à une droite (d). Sachant que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3,5 cm, donner les longueurs A’B’, B’C’ et A’C’.
Exercice 3 : Un point M est situé sur l’axe de symétrie (d). Que peut-on dire de son symétrique M’ ?
Exercice 4 : Parmi les figures suivantes, indiquer le nombre d’axes de symétrie : un rectangle (non carré), un triangle équilatéral, un cercle.
Exercice 5 : Un angle AOB mesure 42°. On construit son symétrique A’O’B’ par rapport à une droite (d). Quelle est la mesure de l’angle A’O’B’ ?
Corrigés
Corrigé 1 : On trace la perpendiculaire à (d) passant par A, qui coupe (d) en un point H. On place A’ sur cette perpendiculaire, de l’autre côté de (d), tel que HA’ = HA.
Corrigé 2 : La symétrie axiale conserve les longueurs, donc A’B’ = AB = 5 cm, B’C’ = BC = 4 cm et A’C’ = AC = 3,5 cm.
Corrigé 3 : Si M appartient à l’axe de symétrie (d), alors M est son propre symétrique : M’ = M (M ne bouge pas).
Corrigé 4 : Le rectangle (non carré) a 2 axes de symétrie. Le triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Le cercle a une infinité d’axes de symétrie.
Corrigé 5 : La symétrie axiale conserve les mesures des angles, donc l’angle A’O’B’ mesure aussi 42°.
