I. Définition de la symétrie centrale
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O lorsque O est le milieu du segment [AA’]. Le point O est appelé centre de symétrie. On dit que A’ est l’image de A par la symétrie de centre O, et réciproquement.
Si le point A est confondu avec O, alors son symétrique est lui-même : A’ = A = O. Sinon, les points O, A et A’ sont alignés et OA = OA’.
II. Construire le symétrique d’un point
Pour construire le symétrique A’ d’un point A par rapport à un centre O :
– Tracer la droite (AO).
– Placer le point A’ sur cette droite, de l’autre côté de O par rapport à A, tel que OA’ = OA.
Méthode au compas : tracer le cercle de centre O et de rayon OA ; ce cercle coupe la droite (AO) en deux points, A et A’. On choisit celui qui est différent de A.
Méthode à la règle graduée : mesurer la longueur OA, puis reporter cette même longueur de l’autre côté de O, sur la droite (AO).
III. Construire le symétrique d’une figure
Pour construire le symétrique d’une figure (segment, triangle, polygone) par rapport à un centre O, on construit le symétrique de chacun de ses points remarquables (sommets, extrémités), puis on relie les images obtenues dans le même ordre que la figure de départ.
Exemple : pour construire le symétrique A’B’C’ d’un triangle ABC, on construit séparément A’, B’ et C’, symétriques de A, B et C par rapport à O, puis on trace le triangle A’B’C’.
Cas particuliers utiles : le symétrique d’une droite est une droite parallèle à la droite de départ ; le symétrique d’un segment est un segment de même longueur ; le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre initial.
IV. Propriétés conservées par la symétrie centrale
La symétrie centrale conserve :
– les longueurs : le symétrique d’un segment a la même longueur que ce segment ;
– les angles : le symétrique d’un angle a la même mesure que cet angle ;
– les aires et les périmètres des figures ;
– le parallélisme et l’alignement des points ;
– la nature des figures : le symétrique d’un triangle est un triangle superposable au premier, le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon, le symétrique d’un carré est un carré, etc.
On dit que deux figures symétriques par rapport à un point sont superposables par un demi-tour (une rotation de 180°) autour de ce point.
V. Centre de symétrie d’une figure
Une figure possède un centre de symétrie O lorsque son symétrique par rapport à O est la figure elle-même.
Exemples de figures possédant un centre de symétrie :
– le cercle : son centre est un centre de symétrie ;
– le parallélogramme (donc aussi le rectangle, le losange et le carré) : le point d’intersection de ses diagonales est son centre de symétrie ;
– un segment : le milieu du segment est son centre de symétrie.
Remarque : un triangle quelconque ne possède pas de centre de symétrie.
Exercices
Exercice 1 — Tracer un point A et un point O. Construire le symétrique A’ de A par rapport à O. Justifier que O est le milieu de [AA’].
Exercice 2 — ABC est un triangle. Construire le symétrique A’B’C’ de ce triangle par rapport à un point O extérieur au triangle. Comparer les longueurs AB et A’B’.
Exercice 3 — ABCD est un parallélogramme de centre O. Sans mesurer, donner le symétrique de chaque sommet par rapport à O. Justifier votre réponse.
Exercice 4 — Un segment [MN] mesure 6 cm. On construit son symétrique [M’N’] par rapport à un point O. Quelle est la longueur de [M’N’] ? Justifier en citant une propriété du cours.
Exercice 5 — Un triangle EFG a un angle en E qui mesure 50°. On construit le symétrique E’F’G’ par rapport à un point O. Quelle est la mesure de l’angle en E’ ? Si le triangle EFG est isocèle, le triangle E’F’G’ l’est-il aussi ? Justifier.
Corrigés
Corrigé 1 — On trace la droite (AO), puis on place A’ sur cette droite, avec O entre A et A’, tel que OA’ = OA (au compas : cercle de centre O et de rayon OA, qui coupe (AO) en A et A’). Par construction, O est le milieu de [AA’] car OA = OA’ et les points A, O, A’ sont alignés : c’est exactement la définition de deux points symétriques par rapport à un centre.
Corrigé 2 — On construit A’, B’ et C’, symétriques respectifs de A, B et C par rapport à O (chaque sommet et son image sont alignés avec O, à égale distance de O). On relie ensuite A’, B’ et C’ dans le même ordre que ABC. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc A’B’ = AB.
Corrigé 3 — Le symétrique de A par rapport à O est C, et le symétrique de B par rapport à O est D (et réciproquement). En effet, dans un parallélogramme, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O : O est donc le milieu de [AC] et le milieu de [BD], ce qui signifie exactement que A et C sont symétriques par rapport à O, tout comme B et D.
Corrigé 4 — Le segment [M’N’] mesure 6 cm. En effet, la symétrie centrale conserve les longueurs, donc M’N’ = MN = 6 cm.
Corrigé 5 — L’angle en E’ mesure 50°, car la symétrie centrale conserve les angles. Si le triangle EFG est isocèle en E (EF = EG), alors, la symétrie centrale conservant les longueurs, on a aussi E’F’ = E’G’ : le triangle E’F’G’ est donc isocèle en E’.
