I. Vecteur associé à un déplacement
Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement : il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur.
Le vecteur qui transforme le point I en point J est noté vecteur IJ (on écrit IJ surmonté d’une flèche). Il possède :
— une direction : celle de la droite (IJ) ;
— un sens : de I vers J ;
— une longueur : la distance IJ, notée aussi la norme du vecteur.
II. Définition de la translation
Translater une figure par un vecteur u, c’est déplacer chacun de ses points dans la direction du vecteur u, dans son sens, et d’une longueur égale à la longueur de u.
Si A’ est l’image du point A par la translation de vecteur u, on dit que le vecteur AA’ est égal au vecteur u : même direction, même sens, même longueur.
On dit aussi que A’ est le translaté de A par le vecteur u.
III. Construire l’image d’un point
Pour construire l’image A’ d’un point A par la translation de vecteur u = IJ, on procède ainsi :
— on trace par A la droite parallèle à la droite (IJ) ;
— sur cette droite, on reporte à partir de A, dans le même sens que de I vers J, une longueur égale à IJ ;
— le point obtenu est l’image A’ cherchée.
IV. Translaté d’une figure
Pour construire l’image d’une figure (segment, triangle, polygone) par une translation, on construit l’image de chacun de ses sommets ou points remarquables par le même vecteur, puis on relie ces images entre elles dans le même ordre.
L’image d’un triangle ABC par une translation de vecteur u est un triangle A’B’C’ superposable au triangle ABC : même forme, mêmes longueurs de côtés, mêmes angles.
V. Propriétés de la translation et vecteurs égaux
La translation est une isométrie : elle conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et l’alignement des points.
Deux vecteurs sont dits égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Si ABCD est un parallélogramme, alors le vecteur AB est égal au vecteur DC, et le vecteur AD est égal au vecteur BC.
Réciproquement, si le vecteur AB est égal au vecteur DC (avec A, B, C, D non alignés), alors ABCD est un parallélogramme.
Exercices
Exercice 1. Soit un vecteur u et un point A n’appartenant pas à la direction de u. Décris précisément la méthode de construction permettant d’obtenir l’image A’ du point A par la translation de vecteur u.
Exercice 2. ABC est un triangle. On note A’B’C’ l’image de ABC par une translation de vecteur u. Que peut-on dire des longueurs A’B’, B’C’ et A’C’ par rapport à AB, BC et AC ? Justifie ta réponse.
Exercice 3. ABCD est un parallélogramme de centre O. 1) Quelle translation transforme A en B ? 2) Cette même translation transforme-t-elle D en C ? Justifie en utilisant l’égalité des vecteurs AB et DC.
Exercice 4. Soit un triangle BAC de sommet A. On applique à ce triangle la translation de vecteur u, obtenant le triangle B’A’C’. Compare les mesures de l’angle BAC et de l’angle B’A’C’. Quelle propriété de la translation utilises-tu ?
Exercice 5. Soit (d) une droite et (d’) son image par une translation de vecteur u non nul. Que peut-on dire de la position relative de (d) et (d’) ? Justifie ta réponse à l’aide des propriétés de la translation.
Corrigés
Corrigé 1. On trace par A la droite parallèle à la direction du vecteur u. Sur cette droite, à partir de A et dans le même sens que u, on reporte une longueur égale à la longueur de u. Le point obtenu est l’image A’ cherchée : le vecteur AA’ est alors égal au vecteur u.
Corrigé 2. La translation conserve les longueurs (c’est une isométrie), donc A’B’ = AB, B’C’ = BC et A’C’ = AC. Le triangle A’B’C’ est donc superposable au triangle ABC.
Corrigé 3. 1) La translation de vecteur AB transforme A en B. 2) Oui. Comme ABCD est un parallélogramme, le vecteur AB est égal au vecteur DC (même direction, même sens, même longueur). La translation de vecteur AB transforme donc aussi D en C.
Corrigé 4. La translation conserve les angles, donc l’angle B’A’C’ a la même mesure que l’angle BAC. On utilise le fait qu’une translation est une isométrie : elle conserve à la fois les longueurs et les angles.
Corrigé 5. Une translation conserve le parallélisme, et l’image d’une droite par une translation est toujours une droite parallèle à la droite de départ. Donc (d) et (d’) sont parallèles (ou confondues si (d) a la même direction que le vecteur u).
