I. Qu’est-ce qu’un parallélogramme ?
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Le parallélogramme ABCD a pour côtés opposés [AB] et [DC] d’une part, [AD] et [BC] d’autre part.
Un parallélogramme possède aussi un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
II. Propriétés du parallélogramme
Dans un parallélogramme ABCD :
- les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : AB = DC et AD = BC ;
- les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu ;
- les angles opposés ont la même mesure ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
III. Construire un parallélogramme
Pour construire un parallélogramme ABCD connaissant deux côtés consécutifs [AB] et [AD] :
- On trace le segment [AB] et le segment [AD].
- On trace la parallèle à (AD) passant par B.
- On trace la parallèle à (AB) passant par D.
- Le point C est à l’intersection de ces deux parallèles.
On peut aussi construire un parallélogramme à partir de ses diagonales : elles doivent simplement se couper en leur milieu commun.
IV. Les cas particuliers de parallélogrammes
Certains parallélogrammes ont des propriétés supplémentaires :
- Le rectangle : un parallélogramme qui a un angle droit (donc ses quatre angles sont droits). Ses diagonales ont aussi la même longueur.
- Le losange : un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur (donc ses quatre côtés sont égaux). Ses diagonales sont perpendiculaires.
- Le carré : à la fois un rectangle et un losange (quatre angles droits et quatre côtés égaux).
V. Reconnaître un parallélogramme
Un quadrilatère est un parallélogramme si l’une de ces conditions est vérifiée :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
- ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Exercices
Exercice 1 : ABCD est un parallélogramme tel que AB = 7 cm et AD = 4 cm. Donner les longueurs DC et BC.
Exercice 2 : ABCD est un parallélogramme de centre O. Sachant que AO = 3 cm, quelle est la longueur AC ?
Exercice 3 : Un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur deux à deux. Est-ce nécessairement un parallélogramme ? Justifier.
Exercice 4 : ABCD est un rectangle tel que AC = 8 cm. Quelle est la longueur BD ?
Exercice 5 : Un losange a un angle de 70°. Quelle est la mesure de l’angle opposé ? Et celle d’un angle consécutif ?
Corrigés
Corrigé 1 : Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, donc DC = AB = 7 cm et BC = AD = 4 cm.
Corrigé 2 : Le centre O est le milieu de la diagonale [AC], donc AC = 2 × AO = 2 × 3 = 6 cm.
Corrigé 3 : Oui, c’est une des propriétés qui caractérisent un parallélogramme : si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
Corrigé 4 : Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur, donc BD = AC = 8 cm.
Corrigé 5 : Dans un losange (comme dans tout parallélogramme), les angles opposés sont égaux, donc l’angle opposé mesure aussi 70°. Deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc l’angle consécutif mesure 180 − 70 = 110°.
