I. Rappel : le triangle rectangle
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l’angle droit, le plus long des trois côtés, s’appelle l’hypoténuse. Les deux autres côtés, qui forment l’angle droit, s’appellent les côtés de l’angle droit (ou cathètes).
Le théorème de Pythagore établit une relation entre les longueurs de ces trois côtés dans un triangle rectangle.
II. Le théorème de Pythagore
Théorème : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² (le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit).
Exemple : dans un triangle ABC rectangle en A, si AB = 3 cm et AC = 4 cm, alors BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 cm (racine carrée de 25).
III. Calculer un côté de l’angle droit
Le théorème de Pythagore permet aussi de calculer la longueur d’un côté de l’angle droit lorsqu’on connaît l’hypoténuse et l’autre côté de l’angle droit.
Si BC² = AB² + AC², alors on peut écrire AB² = BC² − AC² (ou AC² = BC² − AB²) pour isoler le côté recherché.
Exemple : dans un triangle ABC rectangle en A, si BC = 5 cm et AC = 3 cm, alors AB² = BC² − AC² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc AB = 4 cm (racine carrée de 16).
IV. La réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque : si, dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC² (le carré du plus grand côté égal à la somme des carrés des deux autres), alors le triangle ABC est rectangle en A.
Cette réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, sans avoir besoin de mesurer un angle avec un rapporteur : il suffit de comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si l’égalité n’est pas vérifiée (le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres), alors le triangle n’est pas rectangle.
V. Méthode pour vérifier si un triangle est rectangle
Pour vérifier si un triangle est rectangle à l’aide du théorème de Pythagore, on suit trois étapes : identifier le plus long côté du triangle (le candidat hypoténuse), calculer séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres côtés, puis comparer les deux résultats.
Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (d’après la réciproque du théorème de Pythagore), l’angle droit étant le sommet opposé au plus long côté. Si les deux résultats sont différents, le triangle n’est pas rectangle.
Exercices
Exercice 1 — Un triangle RST est rectangle en S. On donne SR = 6 cm et ST = 8 cm. Calculer la longueur de l’hypoténuse RT.
Exercice 2 — Un triangle MNP est rectangle en N. On donne MP = 13 cm (hypoténuse) et MN = 12 cm. Calculer la longueur NP.
Exercice 3 — Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore.
Exercice 4 — Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l’échelle est à 3 m du mur. À quelle hauteur du sol l’échelle touche-t-elle le mur ?
Exercice 5 — Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier votre réponse.
Corrigés
Corrigé 1 — Le triangle RST est rectangle en S, donc RT² = SR² + ST² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc RT = 10 cm (racine carrée de 100).
Corrigé 2 — Le triangle MNP est rectangle en N, donc MP² = MN² + NP², donc NP² = MP² − MN² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, donc NP = 5 cm.
Corrigé 3 — Le plus long côté est 25 cm. On compare 25² = 625 et 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Les deux résultats sont égaux, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l’angle droit est le sommet opposé au côté de 25 cm).
Corrigé 4 — Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle, l’angle droit étant au pied du mur. L’échelle est l’hypoténuse (5 m). D’après le théorème de Pythagore, hauteur² = échelle² − distance² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc hauteur = 4 m. L’échelle touche le mur à 4 m du sol.
Corrigé 5 — Le plus long côté est 8 cm. On compare 8² = 64 et 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Comme 64 est différent de 61, le triangle n’est pas rectangle.
