I. La configuration de Thalès dans le triangle
On considère un triangle ABC. Un point M appartient au segment [AB] et un point N appartient au segment [AC], de telle sorte que la droite (MN) soit parallèle à la droite (BC).
Cette disposition particulière — deux droites parallèles coupant deux autres droites sécantes en un même point A — s’appelle la configuration de Thalès dans le triangle.
II. Énoncé du théorème de Thalès
Si M appartient à [AB], N appartient à [AC], et si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés des deux triangles ABC et AMN sont proportionnelles :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Ce théorème permet de calculer une longueur inconnue dès que l’on connaît trois des quatre autres longueurs concernées.
III. Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Exemple : dans un triangle ABC, M appartient à [AB] et N appartient à [AC], avec (MN) parallèle à (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4 cm et BC = 6 cm. Calculons MN.
D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC, donc 3/5 = MN/6.
On isole MN : MN = (3 × 6)/5 = 18/5 = 3,6 cm.
IV. La configuration papillon
Le théorème de Thalès s’applique aussi lorsque les deux droites sécantes se coupent en un point O situé entre les deux segments parallèles : c’est la configuration dite « en papillon » (ou configuration réduite).
Si les droites (AB’) et (A’B) se coupent en O, et si (AB) est parallèle à (A’B’), alors : OA/OA’ = OB/OB’ = AB/A’B’.
V. Méthode : reconnaître et appliquer le théorème de Thalès
Pour utiliser le théorème de Thalès, on suit une méthode en trois étapes :
1) Repérer la configuration : deux droites parallèles coupant deux droites sécantes en un même point (configuration triangle ou configuration papillon).
2) Écrire l’égalité des rapports correspondants, en respectant bien l’ordre des sommets.
3) Remplacer par les valeurs connues et calculer la longueur demandée par un produit en croix.
Exercices
Exercice 1. Dans un triangle ABC, M appartient à [AB] avec AM = 2 cm et AB = 6 cm ; N appartient à [AC] avec AN = 3 cm et AC = 9 cm. Calcule les rapports AM/AB et AN/AC. Que remarques-tu ?
Exercice 2. Dans un triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm et AC = 8 cm. Calcule AN.
Exercice 3. Dans un triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On donne AM = 2 cm, AB = 7 cm et BC = 10,5 cm. Calcule MN.
Exercice 4. Deux droites (AB’) et (A’B) se coupent en O, formant une configuration papillon, avec (AB) parallèle à (A’B’). On donne OA = 3 cm, OA’ = 5 cm, OB = 4,5 cm et AB = 6 cm. Calcule OB’ et A’B’.
Exercice 5. Un poteau vertical de 2 m de haut projette une ombre de 1,5 m au sol. Au même moment, un arbre voisin projette une ombre de 6 m. En utilisant le théorème de Thalès (les rayons du soleil étant parallèles), calcule la hauteur de l’arbre.
Corrigés
Corrigé 1. AM/AB = 2/6 = 1/3. AN/AC = 3/9 = 1/3. Les deux rapports sont égaux : cela correspond bien à ce que prévoit le théorème de Thalès lorsque (MN) est parallèle à (BC).
Corrigé 2. D’après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC, donc 4/10 = AN/8. On calcule AN = (4 × 8)/10 = 32/10 = 3,2 cm.
Corrigé 3. D’après le théorème de Thalès, AM/AB = MN/BC, donc 2/7 = MN/10,5. On calcule MN = (2 × 10,5)/7 = 21/7 = 3 cm.
Corrigé 4. D’après le théorème de Thalès, OA/OA’ = OB/OB’ = AB/A’B’. Donc 3/5 = 4,5/OB’, d’où OB’ = (4,5 × 5)/3 = 7,5 cm. Et 3/5 = 6/A’B’, d’où A’B’ = (6 × 5)/3 = 10 cm.
Corrigé 5. Le poteau et son ombre, ainsi que l’arbre et son ombre, forment une configuration de Thalès (les rayons du soleil sont parallèles). On a : hauteur du poteau/ombre du poteau = hauteur de l’arbre/ombre de l’arbre, donc 2/1,5 = hauteur de l’arbre/6. La hauteur de l’arbre = (2 × 6)/1,5 = 12/1,5 = 8 m.
