I. Qu’est-ce qu’un triangle ?
Un triangle est une figure géométrique formée par trois points non alignés, appelés sommets, reliés entre eux par trois segments, appelés côtés. Le triangle ABC a pour sommets A, B et C, et pour côtés [AB], [BC] et [AC].
Un triangle possède aussi trois angles, situés à chacun de ses sommets : l’angle en A, l’angle en B et l’angle en C.
II. Construire un triangle connaissant ses trois côtés
Pour construire un triangle ABC connaissant les longueurs de ses trois côtés, on utilise un compas :
- On trace d’abord un côté, par exemple [BC], à la longueur voulue.
- On règle l’écartement du compas sur la longueur AB, et on trace un arc de cercle de centre B.
- On règle l’écartement du compas sur la longueur AC, et on trace un arc de cercle de centre C.
- Le point A est à l’intersection des deux arcs.
Cette méthode ne fonctionne que si la construction est possible (voir l’inégalité triangulaire ci-dessous).
III. L’inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Pour un triangle ABC : AB < AC + CB, AC < AB + BC, et BC < AB + AC.
Si cette condition n’est pas vérifiée pour au moins un des trois côtés, le triangle ne peut pas être construit.
IV. Les différents types de triangles selon leurs côtés
On distingue trois types de triangles selon les longueurs de leurs côtés :
- Le triangle quelconque : ses trois côtés ont des longueurs différentes.
- Le triangle isocèle : il a deux côtés de même longueur.
- Le triangle équilatéral : ses trois côtés ont la même longueur.
V. Les différents types de triangles selon leurs angles
On distingue aussi les triangles selon la nature de leurs angles :
- Le triangle rectangle : il possède un angle droit (90°).
- Le triangle acutangle : ses trois angles sont aigus (inférieurs à 90°).
- Le triangle obtusangle : il possède un angle obtus (supérieur à 90°).
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°.
Exercices
Exercice 1 : Construire au compas un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 5 cm et AC = 4 cm.
Exercice 2 : Un triangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 9 cm. Ce triangle peut-il être construit ? Justifier à l’aide de l’inégalité triangulaire.
Exercice 3 : ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 5 cm. Que peut-on dire des angles en B et en C ?
Exercice 4 : Un triangle a des angles mesurant 90°, 40° et x°. Calculer x et préciser le type de ce triangle selon ses angles.
Exercice 5 : ABC est un triangle équilatéral. Quelle est la mesure de chacun de ses angles ?
Corrigés
Corrigé 1 : On trace le segment [BC] de 5 cm. Avec un compas réglé sur 6 cm, on trace un arc de centre B. Avec un compas réglé sur 4 cm, on trace un arc de centre C. Le point A est à l’intersection des deux arcs.
Corrigé 2 : Non, ce triangle ne peut pas être construit : 3 + 4 = 7, ce qui est inférieur à 9. L’inégalité triangulaire n’est pas respectée (le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres).
Corrigé 3 : Dans un triangle isocèle, les angles à la base (opposés aux côtés égaux) sont égaux. Donc l’angle en B est égal à l’angle en C.
Corrigé 4 : La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc x = 180 − 90 − 40 = 50°. Ce triangle a un angle droit (90°), c’est donc un triangle rectangle.
Corrigé 5 : Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180°, donc chaque angle mesure 180 ÷ 3 = 60°.
