I. Qu’est-ce qu’une équation ?
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres, appelées inconnues (souvent notées x). Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Par exemple, dans l’équation x + 3 = 7, la solution est x = 4, car 4 + 3 = 7.
II. Résoudre une équation du type x + a = b
Pour résoudre une équation de la forme x + a = b, on soustrait a des deux côtés de l’égalité, afin d’isoler x. On obtient alors x = b − a. De même, pour une équation du type x − a = b, on additionne a des deux côtés : x = b + a.
III. Résoudre une équation du type ax = b
Pour résoudre une équation de la forme ax = b (avec a différent de 0), on divise les deux côtés par a, afin d’isoler x. On obtient alors x = b ÷ a.
IV. Résoudre une équation du type ax + b = c
Ce type d’équation se résout en deux étapes : d’abord on isole le terme en x en soustrayant b des deux côtés (ax = c − b), puis on divise par a pour trouver x. On vérifie ensuite le résultat en remplaçant x par sa valeur dans l’équation de départ.
V. Mise en équation d’un problème
Pour résoudre un problème à l’aide d’une équation, on suit une méthode en plusieurs étapes : on choisit une lettre (par exemple x) pour représenter l’inconnue du problème, on traduit les données de l’énoncé par une équation, on résout cette équation, puis on vérifie que la solution trouvée a un sens par rapport au problème posé et on rédige une phrase réponse.
Exemple : « Un nombre augmenté de 8 donne 23. Quel est ce nombre ? » On note x le nombre cherché. L’énoncé se traduit par l’équation x + 8 = 23, donc x = 23 − 8 = 15. Le nombre cherché est 15.
Exercices
Exercice 1. Résoudre les équations suivantes : a) x + 7 = 15 b) x − 4 = 9 c) x + 12 = 8 d) x − 6 = −2
Exercice 2. Résoudre les équations suivantes : a) 4x = 20 b) 5x = −15 c) 7x = 21 d) −3x = 18
Exercice 3. Résoudre les équations suivantes : a) 2x + 5 = 17 b) 3x − 4 = 11 c) 5x + 1 = −14 d) 4x − 7 = 9
Exercice 4. Un nombre augmenté de 8 donne 23. Quel est ce nombre ? (Mettre le problème en équation, puis le résoudre.)
Exercice 5. Le triple d’un nombre, diminué de 5, est égal à 16. Quel est ce nombre ? (Mettre le problème en équation, puis le résoudre.)
Corrigés
Corrigé 1. a) x = 15 − 7 = 8 b) x = 9 + 4 = 13 c) x = 8 − 12 = −4 d) x = −2 + 6 = 4
Corrigé 2. a) x = 20 ÷ 4 = 5 b) x = −15 ÷ 5 = −3 c) x = 21 ÷ 7 = 3 d) x = 18 ÷ (−3) = −6
Corrigé 3. a) 2x = 17 − 5 = 12, donc x = 6 b) 3x = 11 + 4 = 15, donc x = 5 c) 5x = −14 − 1 = −15, donc x = −3 d) 4x = 9 + 7 = 16, donc x = 4
Corrigé 4. On note x le nombre cherché. x + 8 = 23, donc x = 23 − 8 = 15. Le nombre cherché est 15.
Corrigé 5. On note x le nombre cherché. 3x − 5 = 16, donc 3x = 21, donc x = 7. Le nombre cherché est 7.
