I. Définition d’un nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b, où a et b sont des entiers relatifs et b est différent de 0. L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
Tout entier relatif est un nombre rationnel (par exemple 5 = 5/1). Un nombre rationnel peut aussi s’écrire sous forme décimale lorsque cette écriture est finie ou périodique (par exemple 3/4 = 0,75 et 1/3 = 0,333…).
II. Comparaison de deux rationnels
Pour comparer deux rationnels ayant le même dénominateur positif, on compare simplement leurs numérateurs : le plus grand rationnel est celui qui a le plus grand numérateur.
Pour comparer deux rationnels de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur, ou on utilise la comparaison des produits en croix : pour a/b et c/d avec b > 0 et d > 0, on a a/b < c/d si et seulement si a × d < b × c.
III. Addition et soustraction de rationnels
Pour additionner ou soustraire deux rationnels ayant le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) leurs numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Si les dénominateurs sont différents, on réduit d’abord les deux rationnels au même dénominateur (en général leur plus petit multiple commun) avant d’effectuer l’opération.
Exemple : 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
IV. Multiplication et division de rationnels
Pour multiplier deux rationnels, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Pour diviser un rationnel par un autre rationnel non nul, on multiplie le premier par l’inverse du second.
Exemple : 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
V. Méthode : priorités opératoires et simplification
Dans un calcul comportant plusieurs opérations sur des rationnels, on respecte les mêmes règles de priorité que pour les nombres relatifs : parenthèses d’abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Un rationnel doit toujours être donné sous sa forme la plus simple (irréductible) : on simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (plus grand commun diviseur).
Exemple : 8/12 = 2/3 (en divisant le numérateur et le dénominateur par 4, qui est le PGCD de 8 et 12).
Exercices
Exercice 1. Comparer les rationnels -3/4 et -2/3 en utilisant la comparaison des produits en croix.
Exercice 2. Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : 2/5 + 3/10.
Exercice 3. Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : 5/6 – 1/4.
Exercice 4. Calculer et simplifier : 3/7 × 14/9.
Exercice 5. Calculer et simplifier : 5/8 ÷ 15/4.
Corrigés
Corrigé 1. Produits en croix : -3 × 3 = -9 et 4 × (-2) = -8. Comme -9 < -8, on a -3/4 < -2/3.
Corrigé 2. Dénominateur commun 10 : 2/5 = 4/10. Donc 4/10 + 3/10 = 7/10 (déjà irréductible).
Corrigé 3. Dénominateur commun 12 : 5/6 = 10/12 et 1/4 = 3/12. Donc 10/12 – 3/12 = 7/12.
Corrigé 4. 3/7 × 14/9 = (3 × 14)/(7 × 9) = 42/63 = 2/3 (en simplifiant par 21).
Corrigé 5. 5/8 ÷ 15/4 = 5/8 × 4/15 = 20/120 = 1/6 (en simplifiant par 20).
