Les puissances – Cours et exercices (2AC)

I. Définition d’une puissance

La puissance n-ième d’un nombre a, notée aⁿ, est le produit de n facteurs égaux à a : aⁿ = a × a × a × … × a (n facteurs). Le nombre a est appelé la base et le nombre n l’exposant. Par exemple, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

II. Puissances particulières

Pour tout nombre a non nul, a⁰ = 1 et a¹ = a. La puissance a² est appelée le carré de a, et la puissance a³ est appelée le cube de a. Par exemple, 5² = 25 (carré de 5) et 3³ = 27 (cube de 3).

III. Règles de calcul sur les puissances

Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants : aⁿ × a^m = a^n+m. Pour diviser deux puissances de même base, on soustrait les exposants : aⁿ ÷ a^m = a^n-m. Pour élever une puissance à une nouvelle puissance, on multiplie les exposants : (aⁿ)^m = a^n×m.

IV. Puissances de 10 et notation scientifique

Les puissances de 10 permettent d’écrire facilement les grands et les petits nombres : 10ⁿ s’écrit avec 1 suivi de n zéros (pour n positif), et 10^-n = 1 ÷ 10ⁿ (pour n positif). La notation scientifique d’un nombre est son écriture sous la forme a × 10ⁿ, où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier relatif.

V. Signe d’une puissance

Si a est un nombre positif, aⁿ est toujours positif. Si a est un nombre négatif, le signe de aⁿ dépend de la parité de l’exposant n : si n est pair, aⁿ est positif ; si n est impair, aⁿ est négatif. Par exemple, (-2)⁴ = 16 (positif, exposant pair) et (-2)³ = -8 (négatif, exposant impair).

Exercices

Exercice 1 : Calculer : a) 3⁴ b) 5³ c) 2⁶ d) 10⁵

Exercice 2 : Calculer en utilisant les règles de calcul : a) 2³ × 2⁵ b) 7⁶ ÷ 7² c) (3²)³ d) 4² × 4³

Exercice 3 : Écrire sous forme d’une seule puissance : a) 5⁴ × 5 b) 6⁸ ÷ 6³ c) (10²)⁴

Exercice 4 : Déterminer le signe de chaque puissance, puis la calculer : a) (-3)² b) (-3)³ c) (-1)¹⁰ d) (-5)³

Exercice 5 : Écrire en notation scientifique : a) 45 000 b) 0,0032 c) 7 200 000

Corrigés

Corrigé 1 : a) 3⁴ = 81 b) 5³ = 125 c) 2⁶ = 64 d) 10⁵ = 100 000

Corrigé 2 : a) 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256 b) 7⁶ ÷ 7² = 7⁴ = 2 401 c) (3²)³ = 3⁶ = 729 d) 4² × 4³ = 4⁵ = 1 024

Corrigé 3 : a) 5⁴ × 5 = 5⁵ b) 6⁸ ÷ 6³ = 6⁵ c) (10²)⁴ = 10⁸

Corrigé 4 : a) (-3)² = 9 (positif, exposant pair) b) (-3)³ = -27 (négatif, exposant impair) c) (-1)¹⁰ = 1 (positif, exposant pair) d) (-5)³ = -125 (négatif, exposant impair)

Corrigé 5 : a) 45 000 = 4,5 × 10⁴ b) 0,0032 = 3,2 × 10⁻³ c) 7 200 000 = 7,2 × 10⁶