I. Définition de la racine carrée
Pour un nombre positif a, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a. Autrement dit, √a est l’unique nombre positif x tel que x² = a.
Par exemple, √16 = 4 car 4² = 16. La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans l’ensemble des nombres étudiés au collège.
II. Carrés parfaits et racines carrées usuelles
Un carré parfait est un nombre qui est le carré d’un entier (1, 4, 9, 16, 25…). Il est utile de connaître par cœur les racines carrées des carrés parfaits de 1 à 100 pour simplifier rapidement les calculs.
III. Propriétés de la racine carrée
Pour tous nombres positifs a et b : √a × √b = √(a × b) ; √a / √b = √(a / b) (avec b > 0) ; (√a)² = a.
Attention : en général, √(a + b) est différent de √a + √b.
IV. Simplification d’une racine carrée
Pour simplifier une racine carrée qui n’est pas un carré parfait, on cherche à faire apparaître un facteur carré parfait sous la racine, puis on utilise la propriété du produit.
Exemple : √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2.
V. Méthode : opérations avec des racines carrées
On ne peut additionner ou soustraire que des racines carrées identiques (des « termes semblables »), comme pour les expressions littérales : a√c + b√c = (a + b)√c.
Exemple : 3√2 + 5√2 = 8√2, mais 3√2 + 5√3 ne peut pas être simplifié davantage car les racines sont différentes.
Pour rendre rationnel un dénominateur de la forme 1/√a, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √a : 1/√a = √a/a.
Exercices
Exercice 1. Calculer sans calculatrice : √49 + √81.
Exercice 2. Simplifier : √50.
Exercice 3. Réduire l’expression : 4√3 + 2√3 – √3.
Exercice 4. Calculer : √3 × √12.
Exercice 5. Rendre rationnel le dénominateur de 1/√5.
Corrigés
Corrigé 1. √49 = 7 et √81 = 9, donc √49 + √81 = 7 + 9 = 16.
Corrigé 2. √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2.
Corrigé 3. 4√3 + 2√3 – √3 = (4 + 2 – 1)√3 = 5√3.
Corrigé 4. √3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6.
Corrigé 5. 1/√5 = (1 × √5)/(√5 × √5) = √5/5.
