La notion de limite permet d’étudier le comportement d’une fonction au voisinage d’un point ou lorsque la variable tend vers l’infini. Elle est à la base de toute l’étude des fonctions : continuité, dérivabilité, asymptotes et tracé de courbes.
Limite finie en un point
Définition (approche intuitive). On dit que la fonction f a pour limite le réel ℓ en x₀, et on note limx→x₀ f(x) = ℓ, si f(x) se rapproche autant que l’on veut de ℓ lorsque x se rapproche suffisamment de x₀.
Exemple : Pour f(x) = x² − 3x + 1, on a limx→2 f(x) = f(2) = 4 − 6 + 1 = −1 (toute fonction polynôme est continue en tout point : sa limite en un point égale sa valeur en ce point).
Limites latérales. La limite à droite de x₀, notée limx→x₀⁺ f(x), et la limite à gauche, notée limx→x₀⁻ f(x), s’obtiennent en ne considérant que les valeurs de x respectivement supérieures ou inférieures à x₀. La fonction f admet une limite ℓ en x₀ si, et seulement si, ses limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à ℓ.
Exemple : Pour f(x) = |x| / x, on a limx→0⁺ f(x) = 1 et limx→0⁻ f(x) = −1 : ces limites étant différentes, f n’admet pas de limite en 0.
Limites infinies et limites à l’infini
Limite infinie en un point. On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers x₀ si f(x) devient aussi grand que l’on veut dès que x est suffisamment proche de x₀. C’est le cas typique d’une fonction rationnelle au voisinage d’une valeur qui annule le dénominateur : limx→0⁺ 1/x = +∞ et limx→0⁻ 1/x = −∞.
Limite en +∞ ou en −∞. On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ si f(x) se rapproche de ℓ dès que x est suffisamment grand. Pour les fonctions de référence : limx→+∞ 1/x = 0, limx→+∞ √x = +∞, limx→+∞ xⁿ = +∞ (n entier naturel non nul), limx→−∞ xⁿ = +∞ si n est pair et −∞ si n est impair.
Asymptotes. Si limx→x₀ f(x) = ±∞, la droite d’équation x = x₀ est asymptote verticale à la courbe de f. Si limx→+∞ f(x) = ℓ (ou en −∞), la droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale.
Opérations sur les limites
Lorsque f et g admettent des limites finies ℓ et ℓ′ en x₀ (ou en +∞ / −∞), on a : lim (f + g) = ℓ + ℓ′ ; lim (f × g) = ℓ × ℓ′ ; lim (f / g) = ℓ / ℓ′ si ℓ′ ≠ 0. Ces règles s’étendent aux limites infinies avec les conventions usuelles (par exemple « fini + ∞ = +∞ », « ∞ × ∞ = ∞ » avec la règle des signes).
Formes indéterminées. Quatre formes ne permettent pas de conclure directement : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Il faut alors transformer l’écriture de f (factorisation, quotient conjugué, mise en évidence du terme dominant) avant de passer à la limite.
Exemple (forme ∞/∞) : limx→+∞ (2x² − 3x + 1)/(x² + 1). On factorise par x² au numérateur et au dénominateur : = limx→+∞ (2 − 3/x + 1/x²)/(1 + 1/x²) = 2/1 = 2.
Exemple (forme 0/0) : limx→2 (x² − 4)/(x − 2) = limx→2 (x−2)(x+2)/(x−2) = limx→2 (x + 2) = 4.
Limites et comparaison
Théorème des gendarmes (ou d’encadrement). Si, au voisinage de x₀ (ou de +∞), on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x), et si lim u(x) = lim v(x) = ℓ, alors lim f(x) = ℓ.
Exemple : Pour tout x > 0, on a −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x. Comme limx→+∞ (−1/x) = limx→+∞ (1/x) = 0, le théorème des gendarmes donne limx→+∞ sin(x)/x = 0.
Théorème de comparaison. Si f(x) ≥ g(x) au voisinage de x₀ et lim g(x) = +∞, alors lim f(x) = +∞ (et de même pour −∞ en inversant l’inégalité).
Exercices
Exercice 1 — Calculer lim(x→3) de (x² − 5x + 6)/(x − 3).
Exercice 2 — Calculer lim(x→+∞) de (3x² + x − 1)/(2x² − 5).
Exercice 3 — Calculer lim(x→0) de (√(x+1) − 1)/x.
Exercice 4 — Déterminer lim(x→2⁺) et lim(x→2⁻) de 1/(x−2) ; en déduire une éventuelle asymptote.
Exercice 5 — Calculer lim(x→+∞) de (√(x²+1) − x).
Exercice 6 — En utilisant le théorème des gendarmes, calculer lim(x→+∞) de (2 + cos x)/x.
Exercice 7 — Étudier lim(x→+∞) f(x) et lim(x→−∞) f(x) pour f(x) = (x³ − 2x)/(x² + 1), et interpréter graphiquement le résultat.
Corrigés
Corrigé 1 — x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3), donc le quotient vaut x−2 pour x≠3 ; la limite est 3−2 = 1.
Corrigé 2 — En divisant numérateur et dénominateur par x², on obtient (3 + 1/x − 1/x²)/(2 − 5/x²) → 3/2.
Corrigé 3 — En multipliant par la quantité conjuguée (√(x+1)+1), le quotient devient 1/(√(x+1)+1), qui tend vers 1/2 quand x→0.
Corrigé 4 — lim(x→2⁺) 1/(x−2) = +∞ et lim(x→2⁻) 1/(x−2) = −∞ : la droite d’équation x = 2 est asymptote verticale.
Corrigé 5 — En multipliant par la quantité conjuguée (√(x²+1)+x), on obtient 1/(√(x²+1)+x), qui tend vers 0 quand x→+∞.
Corrigé 6 — Pour x > 0, 1 ≤ 2+cos x ≤ 3, donc 1/x ≤ (2+cos x)/x ≤ 3/x. Les deux bornes tendent vers 0 en +∞, donc la limite cherchée est 0.
Corrigé 7 — En écrivant x³ − 2x = x(x²+1) − 3x, on a f(x) = x − 3x/(x²+1). Quand x→+∞, 3x/(x²+1)→0 donc f(x)→+∞ (et f(x) − x → 0 : la droite y = x est asymptote oblique). Quand x→−∞, de même f(x)→−∞ avec la même asymptote y = x.
