La notion de limite est au cœur de l’analyse : elle permet de décrire le comportement d’une fonction au voisinage d’un point (fini ou infini) ou lorsque la variable tend vers l’infini. Ce chapitre introduit les définitions de limite finie et infinie, les opérations sur les limites, les formes indéterminées et les techniques permettant de les lever, ainsi que le théorème des gendarmes. Ces outils sont indispensables pour l’étude complète des fonctions (asymptotes, variations) qui sera menée dans les chapitres suivants.
Limite finie d’une fonction en un point ou en l’infini
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a (éventuellement privé de a), et l un réel. On dit que f admet pour limite l en a, noté lim(x→a) f(x) = l, si f(x) se rapproche autant que l’on veut de l lorsque x se rapproche suffisamment de a. Graphiquement, la courbe de f se rapproche du point (a ; l).
De même, on dit que f admet pour limite l en +∞, noté lim(x→+∞) f(x) = l, si f(x) se rapproche de l autant que l’on veut dès que x est suffisamment grand. Dans ce cas, la droite d’équation y = l est appelée asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de +∞ (définition analogue en -∞).
Exemple traité : soit f(x) = (2x+1)/x, définie sur ]0;+∞[. Écrivons f(x) = (2x)/x + 1/x = 2 + 1/x. Lorsque x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, donc f(x) tend vers 2 + 0 = 2. On a donc lim(x→+∞) f(x) = 2, et la droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.
Pour les fonctions de référence, on retient : lim(x→+∞) 1/x = 0, lim(x→-∞) 1/x = 0, lim(x→+∞) 1/x² = 0, lim(x→a) k = k (fonction constante), lim(x→a) x = a.
Limite infinie d’une fonction en un point ou en l’infini
On dit que f admet pour limite +∞ en a, noté lim(x→a) f(x) = +∞, si f(x) devient et reste aussi grand que l’on veut dès que x est suffisamment proche de a (définitions analogues pour -∞ en a, et pour ±∞ en +∞ ou -∞). Lorsque lim(x→a) f(x) = +∞ ou -∞, la droite d’équation x = a est appelée asymptote verticale à la courbe de f.
Limites de référence : lim(x→0, x>0) 1/x = +∞ et lim(x→0, x<0) 1/x = -∞ (on parle de limites à gauche et à droite, notées respectivement lim(x→0⁻) et lim(x→0⁺)) ; lim(x→0) 1/x² = +∞ ; lim(x→+∞) x = +∞, lim(x→+∞) x² = +∞, lim(x→+∞) √x = +∞ ; lim(x→-∞) x = -∞, lim(x→-∞) x² = +∞.
Exemple traité : étudions lim(x→2) 1/(x-2)². Lorsque x tend vers 2, (x-2)² tend vers 0 en restant strictement positif (un carré), donc 1/(x-2)² tend vers +∞ : lim(x→2) 1/(x-2)² = +∞. La droite d’équation x = 2 est donc asymptote verticale à la courbe de la fonction x ↦ 1/(x-2)².
Autre exemple : pour g(x) = 1/(x-3), étudions les limites à gauche et à droite en 3. Si x tend vers 3 par valeurs supérieures (x>3), alors x-3 tend vers 0⁺, donc g(x) = 1/(x-3) tend vers +∞. Si x tend vers 3 par valeurs inférieures (x<3), alors x-3 tend vers 0⁻, donc g(x) tend vers -∞. On note lim(x→3⁺) g(x) = +∞ et lim(x→3⁻) g(x) = -∞ ; la droite x=3 reste asymptote verticale.
Opérations sur les limites et formes indéterminées
Si lim f = l et lim g = l’ (l et l’ réels, en un même point a ou en ±∞), alors, sous réserve d’existence : lim(f+g) = l+l’ ; lim(f×g) = l×l’ ; si l’≠0, lim(f/g) = l/l’. Ces règles s’étendent au cas de limites infinies, avec les conventions usuelles : «+∞ + réel = +∞», «+∞ + ∞ = +∞», «réel positif × ∞ = ∞ (même signe)», etc.
Certaines opérations conduisent à des formes indéterminées, pour lesquelles on ne peut pas conclure directement : «∞ – ∞», «0 × ∞», «∞/∞», «0/0». Dans ces cas, il faut transformer l’écriture de f (factorisation, développement, quantité conjuguée, simplification) avant de passer à la limite.
Exemple traité (forme ∞-∞) : calculons lim(x→+∞) (x² – x). On ne peut pas conclure directement ; on factorise par le terme de plus haut degré : x² – x = x²(1 – 1/x). Or lim(x→+∞) x² = +∞ et lim(x→+∞) (1 – 1/x) = 1 – 0 = 1 (car 1/x → 0), donc par produit, lim(x→+∞) x²(1-1/x) = +∞ × 1 = +∞. Ainsi lim(x→+∞) (x²-x) = +∞.
Exemple traité (forme 0/0) : calculons lim(x→2) (x²-4)/(x-2). Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0. On factorise le numérateur : x²-4 = (x-2)(x+2). Pour x≠2, (x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2. Donc lim(x→2) (x²-4)/(x-2) = lim(x→2) (x+2) = 2+2 = 4.
Limites des fonctions polynômes et rationnelles à l’infini
Règle du terme de plus haut degré : en +∞ ou en -∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré ; la limite d’une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exemple traité (polynôme) : soit P(x) = -2x³ + 5x² – 1. En +∞, on écrit P(x) = x³(-2 + 5/x – 1/x³). Comme 5/x → 0 et 1/x³ → 0 quand x→+∞, on a (-2+5/x-1/x³) → -2, et x³ → +∞, donc P(x) → +∞ × (-2) = -∞. Ainsi lim(x→+∞) P(x) = lim(x→+∞) (-2x³) = -∞.
Exemple traité (fonction rationnelle) : soit R(x) = (3x²+2x-1)/(x²-5). On factorise numérateur et dénominateur par x² : R(x) = [x²(3+2/x-1/x²)] / [x²(1-5/x²)] = (3+2/x-1/x²)/(1-5/x²). Quand x→+∞, cette expression tend vers (3+0-0)/(1-0) = 3. Donc lim(x→+∞) R(x) = 3, et la droite y=3 est asymptote horizontale à la courbe de R en +∞.
Exemple traité (quantité conjuguée) : calculons lim(x→+∞) (√(x²+1) – x). On multiplie par la quantité conjuguée : √(x²+1)-x = [(√(x²+1)-x)(√(x²+1)+x)] / [√(x²+1)+x] = [(x²+1)-x²] / [√(x²+1)+x] = 1/[√(x²+1)+x]. Quand x→+∞, le dénominateur tend vers +∞, donc le quotient tend vers 0. Ainsi lim(x→+∞) (√(x²+1)-x) = 0.
Théorème des gendarmes et limites par comparaison
Théorème des gendarmes (ou d’encadrement) : soient f, g, h trois fonctions définies au voisinage de a (a réel ou ±∞), telles que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a. Si lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = l (l réel), alors lim(x→a) f(x) = l également.
Théorème de comparaison (cas infini) : si f(x) ≥ g(x) au voisinage de a et lim(x→a) g(x) = +∞, alors lim(x→a) f(x) = +∞ (résultat analogue pour -∞ avec f(x) ≤ g(x)).
Exemple traité : calculons lim(x→+∞) sin(x)/x. Pour tout x > 0, on sait que -1 ≤ sin(x) ≤ 1, donc en divisant par x>0 : -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x. Or lim(x→+∞) (-1/x) = 0 et lim(x→+∞) (1/x) = 0. D’après le théorème des gendarmes, lim(x→+∞) sin(x)/x = 0.
Autre exemple (comparaison, limite infinie) : soit f(x) = x + sin x. Pour tout x, sin x ≥ -1, donc f(x) = x + sin x ≥ x – 1. Or lim(x→+∞) (x-1) = +∞, donc par comparaison, lim(x→+∞) f(x) = +∞.
Exercices
1. Calculer les limites suivantes : a) lim(x→+∞) (3x-2)/x ; b) lim(x→3) (2x²-1).
2. Calculer les limites suivantes, après avoir factorisé par le terme de plus haut degré si nécessaire : a) lim(x→+∞) (x² – 3x + 2) ; b) lim(x→-∞) (-x² + 4x – 1).
3. Calculer les limites suivantes après factorisation : a) lim(x→1) (x²-1)/(x-1) ; b) lim(x→-2) (x²+5x+6)/(x+2).
4. Soit R(x) = (4x²-x+1)/(2x²+3). Calculer lim(x→+∞) R(x) et en déduire l’équation de l’asymptote horizontale à la courbe de R au voisinage de +∞.
5. Soit f(x) = (x+3)/(x-1), définie pour tout réel x ≠ 1. 1) Calculer lim(x→1⁻) f(x) et lim(x→1⁺) f(x). Que peut-on en déduire graphiquement ? 2) Calculer lim(x→+∞) f(x) et lim(x→-∞) f(x). Que peut-on en déduire ?
6. Calculer lim(x→+∞) (√(x²+3x) – x), en utilisant la quantité conjuguée.
7. 1) Calculer lim(x→3) (√(x+1) – 2)/(x-3), en utilisant la quantité conjuguée du numérateur. 2) Calculer lim(x→+∞) (2x+cos x)/x à l’aide du théorème des gendarmes (on rappelle que, pour tout réel t, -1 ≤ cos t ≤ 1).
Corrigés
1. a) (3x-2)/x = 3 – 2/x. Quand x→+∞, 2/x → 0, donc la limite vaut 3 – 0 = 3 : lim(x→+∞) (3x-2)/x = 3. b) La fonction x ↦ 2x²-1 est polynomiale ; on remplace directement x par 3 : 2×3²-1 = 2×9-1 = 18-1 = 17. Donc lim(x→3) (2x²-1) = 17.
2. a) On factorise par le terme de plus haut degré : x²-3x+2 = x²(1-3/x+2/x²). Quand x→+∞, 3/x→0 et 2/x²→0, donc (1-3/x+2/x²) → 1, et x²→+∞. Par produit, la limite vaut +∞×1 = +∞ : lim(x→+∞)(x²-3x+2) = +∞. b) -x²+4x-1 = x²(-1+4/x-1/x²). Quand x→-∞, 4/x→0 et 1/x²→0, donc (-1+4/x-1/x²) → -1, et x² → +∞ (le carré d’un nombre tendant vers -∞ tend vers +∞). Par produit : +∞×(-1) = -∞. Donc lim(x→-∞)(-x²+4x-1) = -∞.
3. a) En x=1, numérateur et dénominateur tendent vers 0. On factorise : x²-1 = (x-1)(x+1). Pour x≠1, (x²-1)/(x-1) = x+1. Donc lim(x→1)(x²-1)/(x-1) = lim(x→1)(x+1) = 1+1 = 2. b) En x=-2, numérateur et dénominateur tendent vers 0. Le trinôme x²+5x+6 a pour racines -2 et -3 (somme -5, produit 6), donc x²+5x+6 = (x+2)(x+3). Pour x≠-2, (x²+5x+6)/(x+2) = x+3. Donc lim(x→-2)(x²+5x+6)/(x+2) = lim(x→-2)(x+3) = -2+3 = 1.
4. On factorise numérateur et dénominateur par x² : R(x) = [x²(4-1/x+1/x²)]/[x²(2+3/x²)] = (4-1/x+1/x²)/(2+3/x²). Quand x→+∞, 1/x→0, 1/x²→0 et 3/x²→0, donc le numérateur tend vers 4 et le dénominateur tend vers 2. Ainsi lim(x→+∞) R(x) = 4/2 = 2. La droite d’équation y = 2 est donc asymptote horizontale à la courbe de R au voisinage de +∞.
5. 1) Quand x→1, le numérateur x+3 tend vers 4 (positif). Si x→1⁻ (x<1), x-1 tend vers 0⁻, donc f(x) = (x+3)/(x-1) tend vers -∞. Si x→1⁺ (x>1), x-1 tend vers 0⁺, donc f(x) tend vers +∞. Donc lim(x→1⁻) f(x) = -∞ et lim(x→1⁺) f(x) = +∞ : on en déduit que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f. 2) En factorisant par x : f(x) = [x(1+3/x)]/[x(1-1/x)] = (1+3/x)/(1-1/x). Quand x→+∞ ou x→-∞, 3/x→0 et 1/x→0, donc f(x) → (1+0)/(1-0) = 1. Ainsi lim(x→+∞) f(x) = lim(x→-∞) f(x) = 1 : la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f, en +∞ comme en -∞.
6. C’est une forme ∞-∞. On multiplie par la quantité conjuguée √(x²+3x)+x (non nulle pour x>0) : √(x²+3x) – x = [(x²+3x)-x²]/[√(x²+3x)+x] = 3x/[√(x²+3x)+x]. Pour x>0, √(x²+3x) = √(x²(1+3/x)) = x√(1+3/x). Le dénominateur devient x√(1+3/x)+x = x[√(1+3/x)+1]. Ainsi l’expression vaut 3x/(x[√(1+3/x)+1]) = 3/[√(1+3/x)+1]. Quand x→+∞, 3/x→0, donc √(1+3/x)→1, et l’expression tend vers 3/(1+1) = 3/2. Donc lim(x→+∞) (√(x²+3x)-x) = 3/2.
7. 1) Quand x→3, le numérateur √(x+1)-2 tend vers √4-2 = 0 et le dénominateur x-3 tend vers 0 : forme 0/0. On multiplie par la quantité conjuguée du numérateur, √(x+1)+2 : (√(x+1)-2)/(x-3) = [(x+1)-4]/[(x-3)(√(x+1)+2)] = (x-3)/[(x-3)(√(x+1)+2)]. Pour x≠3, on simplifie par (x-3) : cela donne 1/(√(x+1)+2). Quand x→3, √(x+1)+2 → √4+2 = 4. Donc lim(x→3) (√(x+1)-2)/(x-3) = 1/4. 2) Pour tout x>0, -1 ≤ cos x ≤ 1. En ajoutant 2x : 2x-1 ≤ 2x+cos x ≤ 2x+1. En divisant par x>0 : (2x-1)/x ≤ (2x+cos x)/x ≤ (2x+1)/x, c’est-à-dire 2-1/x ≤ (2x+cos x)/x ≤ 2+1/x. Or lim(x→+∞)(2-1/x) = 2 et lim(x→+∞)(2+1/x) = 2. D’après le théorème des gendarmes, lim(x→+∞) (2x+cos x)/x = 2.
