La logique mathématique est le socle sur lequel repose toute démonstration rigoureuse en mathématiques. Elle permet de manipuler des propositions, de les combiner à l’aide de connecteurs logiques, de quantifier des affirmations à l’aide des symboles ∀ (« pour tout ») et ∃ (« il existe »), et de structurer les différents types de raisonnement utilisés tout au long du programme de 1ère année Baccalauréat Sciences Mathématiques : raisonnement direct, par contraposée, par l’absurde et par récurrence. Maîtriser ce chapitre est indispensable pour aborder avec rigueur tous les chapitres suivants, en particulier l’étude des ensembles, des fonctions et de la géométrie.
Propositions et valeur de vérité
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux, mais jamais les deux à la fois. On dit que la proposition possède une valeur de vérité notée V (vrai) ou F (faux). Par exemple, « 7 est un nombre premier » est une proposition vraie, tandis que « 12 < 5 » est une proposition fausse. En revanche, un énoncé comme « x + 3 = 7 » n’est pas une proposition tant que la valeur de x n’est pas précisée : c’est un prédicat, c’est-à-dire une proposition dépendant d’une ou plusieurs variables.
Exemple traité : Soit le prédicat P(x) : « x² – 5x + 6 = 0 » défini sur ℝ. Pour x = 2, on calcule 2² – 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0, donc P(2) est vraie. Pour x = 1, on calcule 1² – 5×1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 ≠ 0, donc P(1) est fausse. Le prédicat P(x) devient donc une proposition dès que x est fixé.
Les connecteurs logiques : négation, conjonction, disjonction
À partir d’une proposition P, on définit sa négation, notée non P, qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie. À partir de deux propositions P et Q, on définit la conjonction « P et Q », vraie uniquement lorsque P et Q sont vraies simultanément, et la disjonction « P ou Q », vraie dès que l’une au moins des deux propositions est vraie (ou les deux).
Exemple traité : Soit P : « 6 est pair » (vraie) et Q : « 6 est un multiple de 4 » (fausse, car 6 ÷ 4 = 1,5). Alors non Q est vraie (« 6 n’est pas un multiple de 4 »). P et Q est fausse, car Q est fausse. P ou Q est vraie, car P est vraie. On remarque que non(P et Q) = (non P) ou (non Q) : ici non(P et Q) est vraie, et (non P) ou (non Q) = F ou V = V, ce qui confirme l’égalité sur cet exemple (loi de De Morgan).
Implication, réciproque et contraposée
L’implication « P ⟹ Q » est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse ; dans tous les autres cas, elle est vraie. Deux propositions associées sont importantes : la réciproque Q ⟹ P et la contraposée (non Q) ⟹ (non P). Propriété fondamentale : l’implication P ⟹ Q et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité, ce qui n’est pas le cas de la réciproque. L’équivalence « P ⟺ Q » signifie que P ⟹ Q et Q ⟹ P sont vraies simultanément.
Exemple traité : Pour n∈ℕ, soit P(n) : « n est un multiple de 6 » et Q(n) : « n est pair ». L’implication P(n) ⟹ Q(n) est vraie. Sa contraposée « n impair ⟹ n n’est pas un multiple de 6 » est donc vraie également. En revanche, la réciproque Q(n) ⟹ P(n), « si n est pair alors n est un multiple de 6 », est fausse : n = 4 est pair mais n’est pas un multiple de 6.
Quantificateurs universel ∀ et existentiel ∃
Soit P(x) un prédicat défini sur un ensemble E. La proposition ∀x∈E, P(x) est vraie lorsque P(x) est vraie pour chaque élément x de E. La proposition ∃x∈E, P(x) est vraie dès qu’au moins un élément de E vérifie P(x). Règles de négation, essentielles : non(∀x∈E, P(x)) ⟺ ∃x∈E, non P(x) ; et non(∃x∈E, P(x)) ⟺ ∀x∈E, non P(x). La négation transforme ∀ en ∃ (et inversement) et nie le prédicat.
Exemple traité : Soit A : « ∀x∈ℝ, x² ≥ 0 », vraie. Sa négation est non A : « ∃x∈ℝ, x² < 0 », qui est fausse, cohérent puisque A est vraie. Soit B : « ∃x∈ℝ, x + 1 = 0 », vraie (x = -1 convient) ; sa négation non B : « ∀x∈ℝ, x + 1 ≠ 0 » est donc fausse.
Modes de raisonnement : contraposée, absurde et récurrence
Le raisonnement par contraposée consiste à démontrer (non Q) ⟹ (non P) plutôt que P ⟹ Q, ces implications étant équivalentes. Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer fausse la proposition à démontrer, puis à en déduire une contradiction. Le raisonnement par récurrence s’applique à une propriété P(n) sur ℕ et comporte deux étapes : l’initialisation (on vérifie P(n₀)) et l’hérédité (pour tout n ≥ n₀, P(n) ⟹ P(n+1)).
Exemple traité (absurde) : Montrons que √2 est irrationnel. Supposons √2 = p/q avec p,q entiers premiers entre eux, q≠0. Alors 2 = p²/q², donc p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair : p = 2k. Alors 4k² = 2q², donc q² = 2k², donc q est pair. Ainsi p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit « premiers entre eux ». Donc √2 est irrationnel.
Exemple traité (récurrence) : Montrons que pour tout n∈ℕ*, 1+2+…+n = n(n+1)/2. Initialisation : n=1 : la somme vaut 1, et n(n+1)/2 = 1. Hérédité : supposons 1+2+…+n = n(n+1)/2. Alors 1+2+…+n+(n+1) = n(n+1)/2+(n+1) = (n+1)(n+2)/2, formule au rang n+1. Par récurrence, l’égalité est vraie pour tout n∈ℕ*.
Exercices
1. Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes, en justifiant : a) « 15 est un multiple de 3 » ; b) « ∀x∈ℝ, (x-1)² ≥ 0 » ; c) « ∃x∈ℕ, x² = 5 ».
2. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes : a) « ∀x∈ℝ, x² + 1 > 0 » ; b) « ∃n∈ℕ, n est pair et n est multiple de 5 » ; c) « ∀x∈]0;+∞[, ∃y∈ℝ, y² = x ».
3. Soit P et Q deux propositions. Démontrer, en étudiant tous les cas de valeurs de vérité de P et Q, que (P ⟹ Q) et ((non P) ou Q) ont toujours la même valeur de vérité.
4. Soit n un entier naturel. En utilisant un raisonnement par contraposée, démontrer que : si n² est pair, alors n est pair.
5. Démontrer par l’absurde que √3 est irrationnel.
6. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2ⁿ ≥ n + 1.
7. (Synthèse) Soit n un entier naturel non nul et P(n) : « n² + n est pair ». a) Démontrer que P(n) est vraie pour tout n∈ℕ*. b) En déduire, à l’aide des règles de négation des quantificateurs, la valeur de vérité de « ∃n∈ℕ*, n² + n est impair » et justifier.
Corrigés
1. a) 15 = 3×5, donc 15 est un multiple de 3 : proposition vraie. b) Pour tout réel x, (x-1)² est un carré donc positif ou nul : la proposition est vraie. c) 2²=4 et 3²=9 : aucun entier naturel au carré ne donne 5 (5 n’est pas un carré parfait), donc la proposition est fausse.
2. a) Négation : ∃x∈ℝ, x² + 1 ≤ 0 (cette négation est d’ailleurs fausse, puisque x²+1≥1>0 toujours, ce qui confirme que la proposition initiale est vraie). b) Négation, par la loi de De Morgan : ∀n∈ℕ, n est impair ou n n’est pas multiple de 5. c) Négation : ∃x∈]0;+∞[, ∀y∈ℝ, y² ≠ x.
3. On examine les 4 cas possibles. Cas 1 (P vraie, Q vraie) : P⟹Q est vraie ; (non P) ou Q = F ou V = V. Cas 2 (P vraie, Q fausse) : P⟹Q est fausse (seul cas où l’implication est fausse) ; (non P) ou Q = F ou F = F. Cas 3 (P fausse, Q vraie) : P⟹Q est vraie ; (non P) ou Q = V ou V = V. Cas 4 (P fausse, Q fausse) : P⟹Q est vraie ; (non P) ou Q = V ou F = V. Dans les quatre cas, les deux propositions ont exactement la même valeur de vérité, ce qui démontre l’équivalence (P⟹Q) ⟺ ((non P) ou Q).
4. La contraposée de « n² pair ⟹ n pair » est « n impair ⟹ n² impair ». Démonstration : supposons n impair, alors n = 2k+1 pour un entier k. Alors n² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1. Comme 2k²+2k est entier, n² s’écrit 2m+1 avec m entier, donc n² est impair. La contraposée est démontrée ; par équivalence, si n² est pair alors n est pair.
5. Supposons par l’absurde √3 rationnel : √3 = p/q, p et q entiers premiers entre eux, q≠0. Alors 3 = p²/q², donc p² = 3q², donc p² est multiple de 3, donc p est multiple de 3 (si p n’était pas multiple de 3, p s’écrirait 3k+1 ou 3k+2, et p² serait alors de la forme 3m+1, non multiple de 3). Écrivons p = 3k : 9k² = 3q², soit 3k² = q², donc q² est multiple de 3, donc q est multiple de 3. Ainsi p et q sont tous deux multiples de 3, ce qui contredit qu’ils sont premiers entre eux. Cette contradiction prouve que √3 est irrationnel.
6. P(n) : 2ⁿ ≥ n+1. Initialisation (n=0) : 2⁰=1 et n+1=1, donc 1≥1, vrai. Hérédité : supposons 2ⁿ ≥ n+1 pour un n≥0 fixé. Alors 2^(n+1) = 2×2ⁿ ≥ 2(n+1) = 2n+2 (en multipliant l’hypothèse par 2>0). Or 2n+2 ≥ n+2 équivaut à n≥0, ce qui est vrai. Donc 2^(n+1) ≥ 2n+2 ≥ n+2 : la propriété est vraie au rang n+1. Par le principe de récurrence, 2ⁿ ≥ n+1 pour tout n∈ℕ.
7. a) On remarque que n²+n = n(n+1), produit de deux entiers consécutifs. Parmi deux entiers consécutifs, l’un est pair et l’autre impair, donc leur produit est pair (pair × impair = pair). Donc n²+n est pair pour tout n∈ℕ*, c’est-à-dire P(n) est vraie pour tout n∈ℕ* : la proposition ∀n∈ℕ*, P(n) est vraie. b) La proposition « ∃n∈ℕ*, n²+n est impair » s’écrit « ∃n∈ℕ*, non P(n) », qui est exactement la négation de « ∀n∈ℕ*, P(n) » (règle non(∀n,P(n)) ⟺ ∃n, non P(n)). Comme nous venons de démontrer que ∀n∈ℕ*, P(n) est vraie, sa négation ∃n∈ℕ*, non P(n) est nécessairement fausse.
