Ordre et opérations – Cours et exercices (2AC)

I. Comparer en utilisant la différence

Pour comparer deux nombres rationnels a et b, on peut calculer la différence a − b : si a − b > 0 alors a > b ; si a − b < 0 alors a < b ; si a − b = 0 alors a = b.

II. Effet de l’addition sur une inégalité

Si a < b, alors pour tout nombre c : a + c < b + c. Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d’une inégalité ne change pas le sens de l’inégalité.

III. Effet de la multiplication sur une inégalité

Si a < b et c > 0, alors a × c < b × c (le sens de l’inégalité est conservé).

Si a < b et c < 0, alors a × c > b × c (le sens de l’inégalité est inversé lorsqu’on multiplie par un nombre négatif).

Exercices

1. Comparer −3/4 et −5/6 en calculant leur différence.
2. Sachant que x < 5, comparer x + 3 et 8.
3. Sachant que a < b, comparer −2a et −2b.
4. Sachant que x > −2, comparer 3x et −6.
5. Sachant que −4 < x < 7, que peut-on dire de −x ?

Corrigés

1. −3/4 − (−5/6) = −9/12 + 10/12 = 1/12 > 0, donc −3/4 > −5/6.
2. x < 5 donc x + 3 < 5 + 3 = 8. Donc x + 3 < 8.
3. Comme a < b et qu’on multiplie par −2 (négatif), le sens s’inverse : −2a > −2b.
4. x > −2 donc, en multipliant par 3 (positif), 3x > −6.
5. En multipliant par −1 (négatif), les sens s’inversent : −7 < −x < 4.