I. Comparer deux nombres
Pour comparer deux nombres réels a et b, on étudie le signe de leur différence a − b, ou on les place sur une droite graduée.
II. Ordre et addition/soustraction
Si a < b, alors a + c < b + c pour tout nombre c. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans changer son sens.
III. Ordre et multiplication/division
Si a < b et c > 0, alors a×c < b×c (le sens est conservé).
Si a < b et c < 0, alors a×c > b×c (le sens est inversé).
IV. Encadrement d’une somme, d’une différence
Si a est encadré par m1 < a < M1 et b par m2 < b < M2, alors a+b est encadré par m1+m2 < a+b < M1+M2.
Pour une différence, on encadre a − b en utilisant m1 − M2 < a − b < M1 − m2 (attention à l’inversion pour le nombre soustrait).
Exercices
- Sachant que x < 7, comparer 2x et 14.
- Sachant que x > 3, comparer −5x et −15.
- Sachant que 2 < x < 5 et 1 < y < 3, encadrer x + y.
- Avec les mêmes données, encadrer x − y.
- Sachant que −3 ≤ x ≤ 4, encadrer 2x − 1.
Corrigés
- On multiplie par 2 (positif), le sens est conservé : 2x < 14.
- On multiplie par −5 (négatif), le sens est inversé : −5x < −15.
- 3 < x+y < 8 (en additionnant les bornes correspondantes).
- On encadre −y : −3 < −y < −1, puis on additionne à l’encadrement de x : 2−3 < x−y < 5−1, soit −1 < x−y < 4.
- −3 ≤ x ≤ 4 ⟹ −6 ≤ 2x ≤ 8 ⟹ −7 ≤ 2x−1 ≤ 7.
