La logique mathématique fournit les outils nécessaires pour énoncer avec rigueur les propriétés mathématiques et pour construire des raisonnements valides, indispensables tout au long du cycle du baccalauréat.
Propositions et connecteurs logiques
Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux, mais jamais les deux à la fois. Étant données deux propositions P et Q :
- Négation : « non P », notée P̄, est vraie lorsque P est fausse, et fausse lorsque P est vraie.
- Conjonction : « P et Q » (P∧Q) est vraie si et seulement si P et Q sont vraies simultanément.
- Disjonction : « P ou Q » (P∨Q) est vraie si et seulement si au moins l’une des deux propositions est vraie.
Implication et équivalence
L’implication « P ⟹ Q » est fausse uniquement dans le cas où P est vraie et Q est fausse ; elle est vraie dans tous les autres cas (en particulier lorsque P est fausse, quelle que soit Q).
La réciproque de P⟹Q est Q⟹P (en général non équivalente). La contraposée de P⟹Q est (non Q)⟹(non P) : elle est toujours logiquement équivalente à l’implication de départ.
L’équivalence « P ⟺ Q » est vraie si et seulement si P et Q ont la même valeur de vérité (P⟹Q et Q⟹P vraies simultanément).
Quantificateurs
Quantificateur universel ∀ : « ∀x∈E, P(x) » signifie que P(x) est vraie pour tout élément x de E. Quantificateur existentiel ∃ : « ∃x∈E, P(x) » signifie qu’il existe au moins un élément x de E pour lequel P(x) est vraie.
Règles de négation : non(∀x∈E, P(x)) équivaut à ∃x∈E, non P(x) — et non(∃x∈E, P(x)) équivaut à ∀x∈E, non P(x).
Types de raisonnement
Raisonnement direct : on part des hypothèses et on enchaîne les déductions jusqu’à la conclusion. Raisonnement par contraposée : pour prouver P⟹Q, on prouve (non Q)⟹(non P), utile quand la négation de Q est plus maniable. Raisonnement par l’absurde : on suppose P vraie et non Q vraie, et on aboutit à une contradiction. Raisonnement par récurrence : pour une propriété P(n) dépendant de n∈ℕ, on prouve l’initialisation (P(n₀) vraie) puis l’hérédité (P(n)⟹P(n+1) pour tout n≥n₀). Disjonction des cas : on décompose le problème en cas exhaustifs et on traite chacun séparément.
Exercices
Exercice 1 — Écrire la négation de la proposition : « ∀x∈ℝ, x²≥0 »
Exercice 2 — Écrire la négation de la proposition : « ∃x∈ℝ, x+1=0 »
Exercice 3 — Donner la contraposée de l’implication : « si x>2 alors x²>4 » (pour x réel positif)
Exercice 4 — Démontrer par récurrence que pour tout n∈ℕ*, 1+2+…+n = n(n+1)/2
Exercice 5 — Démontrer par l’absurde que √2 n’est pas un nombre rationnel
Exercice 6 — Déterminer la valeur de vérité de la proposition : « (2>3) ⟹ (1=1) »
Exercice 7 — Écrire la réciproque de : « si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires », et dire si elle est vraie
Corrigés
Corrigé 1 — ∃x∈ℝ, x²<0 (proposition fausse, car un carré réel est toujours positif ou nul)
Corrigé 2 — ∀x∈ℝ, x+1≠0
Corrigé 3 — Contraposée : « si x²≤4 alors x≤2 » (pour x réel positif, logiquement équivalente à l’implication de départ)
Corrigé 4 — Initialisation : pour n=1, 1 = 1×2/2 = 1, vraie. Hérédité : on suppose 1+…+n = n(n+1)/2, alors 1+…+n+(n+1) = n(n+1)/2+(n+1) = (n+1)(n+2)/2, donc la propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la formule est vraie pour tout n∈ℕ*
Corrigé 5 — On suppose par l’absurde que √2 = p/q avec p,q entiers premiers entre eux. Alors p²=2q², donc p² est pair, donc p est pair, p=2k. Alors 4k²=2q², donc q²=2k², donc q est pair aussi — contradiction avec p,q premiers entre eux. Donc √2 est irrationnel
Corrigé 6 — Vraie : l’implication est vraie dès que la conclusion (1=1) est vraie, quelle que soit la valeur de vérité de l’hypothèse
Corrigé 7 — Réciproque : « si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, alors c’est un carré » — fausse (contre-exemple : un losange non carré a des diagonales perpendiculaires sans être un carré)
