I. Rappel : les quatre opérations sur les décimaux
Avant d’apprendre les priorités opératoires, rappelons les quatre opérations de base sur les nombres décimaux : l’addition (+), la soustraction (-), la multiplication (x) et la division (÷). Exemple : 12,5 + 3,2 = 15,7 ; 20 – 4,5 = 15,5 ; 2,5 x 4 = 10 ; 9 ÷ 2 = 4,5.II. Les priorités opératoires : pourquoi des règles ?
Quand un calcul contient plusieurs opérations différentes, il faut respecter un ordre précis pour obtenir le bon résultat. Sans règle, un même calcul pourrait donner plusieurs résultats différents selon la personne qui le fait. Les mathématiciens ont donc fixé des règles de priorité que tout le monde doit respecter. Exemple : 3 + 4 x 2. Si on calcule de gauche à droite sans règle : (3 + 4) x 2 = 14. Mais la règle correcte donne : 3 + (4 x 2) = 3 + 8 = 11. C’est ce deuxième résultat qui est le bon.III. Les règles de priorité
Règle 1 : On effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus à l’intérieur. Règle 2 : Ensuite, on effectue les multiplications et les divisions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite. Règle 3 : Enfin, on effectue les additions et les soustractions, dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.
Exemple : 5 + 3 x (8 – 6) = 5 + 3 x 2 = 5 + 6 = 11. On a d’abord calculé la parenthèse (8 – 6 = 2), puis la multiplication (3 x 2 = 6), puis l’addition (5 + 6 = 11).
IV. Calculs avec plusieurs parenthèses
Quand un calcul contient plusieurs parenthèses, on les calcule une par une, dans n’importe quel ordre, avant de continuer avec les règles de priorité. Exemple : (4 + 2,5) x (10 – 7) = 6,5 x 3 = 19,5. Quand une parenthèse contient elle-même une autre opération à calculer en premier (parenthèses imbriquées), on commence toujours par la plus intérieure. Exemple : 2 x (3 + (4 – 1)) = 2 x (3 + 3) = 2 x 6 = 12.
V. La distributivité de la multiplication
La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction. Cela signifie que : k x (a + b) = k x a + k x b et k x (a – b) = k x a – k x b. Exemple : 5 x (3 + 4,2) peut se calculer de deux façons : soit 5 x 7,2 = 36 ; soit 5 x 3 + 5 x 4,2 = 15 + 21 = 36. Les deux méthodes donnent le même résultat. Cette propriété est très utile pour simplifier certains calculs mentalement.
Exercices
Exercice 1 : Calculer 4 + 3 x 5.
Exercice 2 : Calculer (6 + 2) x (9 – 5).
Exercice 3 : Calculer 20 – 3 x (2 + 1,5).
Exercice 4 : Calculer 7 x (10 + 2) en utilisant la distributivité.
Exercice 5 : Calculer 15 ÷ 3 + 4 x 2,5.
Corrigés
Corrigé 1 : 4 + 3 x 5 = 4 + 15 = 19 (on calcule d’abord la multiplication).
Corrigé 2 : (6 + 2) x (9 – 5) = 8 x 4 = 32.
Corrigé 3 : 20 – 3 x (2 + 1,5) = 20 – 3 x 3,5 = 20 – 10,5 = 9,5.
Corrigé 4 : 7 x (10 + 2) = 7 x 10 + 7 x 2 = 70 + 14 = 84.
Corrigé 5 : 15 ÷ 3 + 4 x 2,5 = 5 + 10 = 15 (on calcule d’abord la division et la multiplication).
