Le produit scalaire a déjà été étudié dans le plan. Ce chapitre en propose l’extension naturelle à l’espace : on y retrouve les mêmes propriétés algébriques, mais avec une troisième coordonnée qui permet de traiter des situations impossibles en géométrie plane, comme l’orthogonalité entre une droite et un plan ou le calcul de la distance d’un point à un plan. On veillera à bien distinguer ce chapitre du produit scalaire dans le plan étudié précédemment : ici, tout vecteur possède trois coordonnées (x, y, z).
Définition et propriétés du produit scalaire dans l’espace
Comme dans le plan, pour deux vecteurs u⃗ et v⃗ de l’espace non nuls, le produit scalaire u⃗ · v⃗ est défini par u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(u⃗, v⃗), où ‖u⃗‖ désigne la norme (longueur) du vecteur u⃗. Si l’un des vecteurs est nul, on pose u⃗ · v⃗ = 0. Le produit scalaire dans l’espace conserve toutes les propriétés du plan : symétrie (u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗), bilinéarité (u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ et u⃗ · (k v⃗) = k(u⃗ · v⃗)), et la relation fondamentale u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².
Exemple : si u⃗(1, 3, −2) et v⃗(2, 0, 4) dans un repère orthonormé, on verra dans la section suivante que u⃗ · v⃗ = 1×2 + 3×0 + (−2)×4 = 2 + 0 − 8 = −6.
Expression analytique, norme et distance dans un repère orthonormé de l’espace
Dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗) de l’espace, si u⃗(x, y, z) et v⃗(x′, y′, z′), alors : u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′ + z z′. La norme d’un vecteur u⃗(x, y, z) est ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²), et la distance entre deux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) est AB = ‖AB⃗‖ = √[(xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²].
Exemple : soit A(2, −1, 3) et B(5, 3, 3). On a AB⃗(5−2, 3−(−1), 3−3) = AB⃗(3, 4, 0), donc AB = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Orthogonalité de deux vecteurs — vecteur normal à un plan
Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ de l’espace sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0 (car cos(90°) = 0). On dit qu’un vecteur n⃗ non nul est un vecteur normal à un plan P s’il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de P. Un plan P passant par un point A(x0, y0, z0) et de vecteur normal n⃗(a, b, c) est caractérisé par : M(x, y, z) ∈ P ⟺ n⃗ · AM⃗ = 0 ⟺ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0, ce qui donne l’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Exemple : soit u⃗(1, 2, 3) et v⃗(2, −1, 0). On calcule u⃗ · v⃗ = 1×2 + 2×(−1) + 3×0 = 2 − 2 + 0 = 0, donc u⃗ et v⃗ sont orthogonaux. Le plan P passant par l’origine O(0,0,0) et de vecteur normal n⃗(1, −2, 2) a pour équation cartésienne x − 2y + 2z = 0.
Application : calcul de l’angle entre deux vecteurs
De la définition u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ (où θ est l’angle géométrique entre u⃗ et v⃗), on tire la formule pratique : cos θ = (u⃗ · v⃗) ÷ (‖u⃗‖ × ‖v⃗‖), valable dès que u⃗ et v⃗ sont non nuls. Cette formule permet de calculer l’angle entre deux droites ou deux arêtes dans une figure de l’espace connaissant seulement les coordonnées.
Exemple : soit u⃗(1, 1, 0) et v⃗(0, 1, 1). On a u⃗ · v⃗ = 1×0 + 1×1 + 0×1 = 1, ‖u⃗‖ = √(1+1+0) = √2, ‖v⃗‖ = √(0+1+1) = √2. Donc cos θ = 1 ÷ (√2 × √2) = 1 ÷ 2, d’où θ = 60°.
Application : distance d’un point à un plan
Soit un plan P d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, de vecteur normal n⃗(a, b, c), et un point A(x0, y0, z0). La distance de A au plan P est donnée par la formule : d(A, P) = |a x0 + b y0 + c z0 + d| ÷ √(a² + b² + c²). Cette formule se démontre en projetant orthogonalement A sur P le long de la direction du vecteur normal n⃗.
Exemple : calculons la distance du point A(0, 0, 0) au plan P : x − 2y + 2z − 9 = 0. On a d(A, P) = |1×0 − 2×0 + 2×0 − 9| ÷ √(1² + (−2)² + 2²) = |−9| ÷ √9 = 9 ÷ 3 = 3.
Exercices
1. Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne u⃗(2, −1, 3) et v⃗(1, 2, −1). Calculer le produit scalaire u⃗ · v⃗.
2. Soit A(2, 3, 1) et B(6, 0, 1) deux points de l’espace. Calculer la distance AB.
3. Montrer que les vecteurs u⃗(3, −2, 1) et v⃗(1, 4, 5) sont orthogonaux.
4. Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(1, −1, 2) et de vecteur normal n⃗(2, 3, −1).
5. Soit u⃗(1, 2, 2) et v⃗(3, 4, 0). Calculer u⃗ · v⃗, ‖u⃗‖, ‖v⃗‖, puis en déduire cos θ où θ est l’angle entre u⃗ et v⃗.
6. Calculer la distance du point A(1, 2, −3) au plan P d’équation x − 2y + 2z − 4 = 0.
7. ABCDEFGH est un cube tel que, dans le repère (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗), on ait A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1). Démontrer, à l’aide du produit scalaire, que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
Corrigés
1.
On applique la formule du produit scalaire en coordonnées : u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′ + z z′ = 2×1 + (−1)×2 + 3×(−1) = 2 − 2 − 3 = −3.
2.
On calcule les coordonnées du vecteur AB⃗ : AB⃗(xB − xA, yB − yA, zB − zA) = AB⃗(6 − 2, 0 − 3, 1 − 1) = AB⃗(4, −3, 0). La distance est AB = ‖AB⃗‖ = √(4² + (−3)² + 0²) = √(16 + 9 + 0) = √25 = 5.
3.
On calcule le produit scalaire : u⃗ · v⃗ = 3×1 + (−2)×4 + 1×5 = 3 − 8 + 5 = 0. Comme u⃗ · v⃗ = 0 et que u⃗, v⃗ sont non nuls, les vecteurs u⃗ et v⃗ sont orthogonaux.
4.
Un point M(x, y, z) appartient au plan P si et seulement si n⃗ · AM⃗ = 0, avec AM⃗(x − 1, y − (−1), z − 2) = (x − 1, y + 1, z − 2). On calcule : 2(x − 1) + 3(y + 1) + (−1)(z − 2) = 0, soit 2x − 2 + 3y + 3 − z + 2 = 0, c’est-à-dire 2x + 3y − z + 3 = 0.
5.
On calcule u⃗ · v⃗ = 1×3 + 2×4 + 2×0 = 3 + 8 + 0 = 11. On calcule les normes : ‖u⃗‖ = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3, et ‖v⃗‖ = √(3² + 4² + 0²) = √(9+16) = √25 = 5. On en déduit cos θ = (u⃗ · v⃗) ÷ (‖u⃗‖ × ‖v⃗‖) = 11 ÷ (3 × 5) = 11/15.
6.
Le plan P a pour équation x − 2y + 2z − 4 = 0, donc a = 1, b = −2, c = 2, d = −4, et le point est A(1, 2, −3). On calcule d’abord le numérateur : a x0 + b y0 + c z0 + d = 1×1 + (−2)×2 + 2×(−3) + (−4) = 1 − 4 − 6 − 4 = −13, donc |−13| = 13. Le dénominateur est √(a² + b² + c²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. Donc d(A, P) = 13 ÷ 3 = 13/3.
7.
Pour montrer que (AG) est orthogonale au plan (BDE), il suffit de montrer que le vecteur AG⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple BD⃗ et BE⃗.
On a AG⃗ = G − A = (1, 1, 1). On calcule BD⃗ = D − B = (0−1, 1−0, 0−0) = (−1, 1, 0), et BE⃗ = E − B = (0−1, 0−0, 1−0) = (−1, 0, 1).
Calcul de AG⃗ · BD⃗ = 1×(−1) + 1×1 + 1×0 = −1 + 1 + 0 = 0. Calcul de AG⃗ · BE⃗ = 1×(−1) + 1×0 + 1×1 = −1 + 0 + 1 = 0.
Le vecteur AG⃗ est donc orthogonal à la fois à BD⃗ et à BE⃗, deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) : AG⃗ est donc un vecteur normal au plan (BDE). On en conclut que la droite (AG), dirigée par AG⃗, est orthogonale au plan (BDE).
