Le produit scalaire est un outil fondamental de géométrie analytique, permettant de calculer des longueurs, des angles, et d’établir des conditions d’orthogonalité entre vecteurs.
Définition du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ non nuls est défini par : u⃗·v⃗ = ||u⃗||×||v⃗||×cos(u⃗,v⃗). Si u⃗ ou v⃗ est nul, u⃗·v⃗=0. Le produit scalaire est un nombre réel (et non un vecteur).
Expression analytique
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x;y) et v⃗(x’;y’), alors : u⃗·v⃗ = xx’+yy’. Cette formule permet de calculer le produit scalaire directement à partir des coordonnées, sans passer par les normes et l’angle.
Propriétés et orthogonalité
Le produit scalaire est symétrique (u⃗·v⃗=v⃗·u⃗), bilinéaire (linéaire par rapport à chaque vecteur), et vérifie u⃗·u⃗=||u⃗||². Condition d’orthogonalité : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗·v⃗=0.
Formule d’Al-Kashi (dans un triangle)
Dans un triangle ABC, en notant a=BC, b=AC, c=AB, la formule d’Al-Kashi donne : a² = b²+c²-2bc·cos(Â). Cette formule généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque (elle redonne Pythagore lorsque Â=90°, car cos(90°)=0).
Exercices
Exercice 1 — Dans un repère orthonormé, calculer u⃗·v⃗ pour u⃗(2;3) et v⃗(-1;4)
Exercice 2 — Les vecteurs u⃗(3;2) et v⃗(-4;6) sont-ils orthogonaux ?
Exercice 3 — Calculer ||u⃗|| sachant que u⃗·u⃗=25
Exercice 4 — Dans un triangle ABC, on donne AB=5, AC=7 et l’angle Â=60°. Calculer BC à l’aide de la formule d’Al-Kashi (cos 60°=1/2)
Exercice 5 — Soient A(1;2), B(4;2), C(1;6). Calculer AB⃗·AC⃗ et en déduire si l’angle en A est droit
Exercice 6 — Développer et simplifier (u⃗+v⃗)·(u⃗-v⃗) en fonction de ||u⃗|| et ||v⃗||
Exercice 7 — Montrer que si u⃗·v⃗=0 avec u⃗ et v⃗ non nuls, alors l’angle entre les deux vecteurs vaut 90°
Corrigés
Corrigé 1 — u⃗·v⃗ = 2×(-1)+3×4 = -2+12 = 10
Corrigé 2 — u⃗·v⃗ = 3×(-4)+2×6 = -12+12 = 0, donc oui, u⃗ et v⃗ sont orthogonaux
Corrigé 3 — ||u⃗||² = u⃗·u⃗ = 25, donc ||u⃗|| = √25 = 5
Corrigé 4 — BC² = AB²+AC²-2×AB×AC×cos(Â) = 25+49-2×5×7×0,5 = 74-35 = 39, donc BC = √39
Corrigé 5 — AB⃗(3;0), AC⃗(0;4). AB⃗·AC⃗ = 3×0+0×4 = 0, donc l’angle en A est droit
Corrigé 6 — (u⃗+v⃗)·(u⃗-v⃗) = u⃗·u⃗-u⃗·v⃗+v⃗·u⃗-v⃗·v⃗ = ||u⃗||²-||v⃗||² (les termes croisés s’annulent par symétrie du produit scalaire)
Corrigé 7 — Par définition, u⃗·v⃗=||u⃗||×||v⃗||×cos(u⃗,v⃗). Si u⃗·v⃗=0 avec ||u⃗||≠0 et ||v⃗||≠0, alors cos(u⃗,v⃗)=0, donc l’angle entre u⃗ et v⃗ vaut 90°
