Le produit scalaire est un outil essentiel de la géométrie plane qui permet de mesurer des longueurs, des angles, et de caractériser l’orthogonalité entre vecteurs. Ce chapitre présente les différentes expressions du produit scalaire (analytique, avec cosinus, avec projection), ses propriétés algébriques, ainsi que ses applications classiques : théorème d’Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore), formule de la médiane, équations de cercles et de droites.
Définition du produit scalaire
Soient u→ et v→ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire u→·v→ peut se définir avec les normes et l’angle : si u→ et v→ sont non nuls, u→·v→ = ‖u→‖×‖v→‖×cos(u→,v→). Par projection orthogonale : si u→=AB→ et v→=AC→, et H le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AB→·AC→ = AB→·AH→. Si u→=0→ ou v→=0→, alors u→·v→=0.
Exemple traité : Soient u→ et v→ tels que ‖u→‖=4, ‖v→‖=5, et l’angle entre eux vaut 60°. Alors u→·v→ = 4×5×cos(60°) = 20×0,5 = 10. Si l’angle avait été de 120°, on aurait u→·v→ = 20×cos(120°) = 20×(-0,5) = -10 : le produit scalaire est négatif lorsque l’angle est obtus.
Propriétés du produit scalaire et orthogonalité
Pour tous u→, v→, w→ et tout réel k : symétrie u→·v→ = v→·u→ ; bilinéarité u→·(v→+w→) = u→·v→+u→·w→ et (k×u→)·v→ = k×(u→·v→) ; carré scalaire u→·u→ = ‖u→‖². Propriété fondamentale : deux vecteurs non nuls u→ et v→ sont orthogonaux si et seulement si u→·v→ = 0.
Exemple traité : Soient u→, v→ tels que ‖u→‖=3, ‖v→‖=4, et u→·v→=0 : u→ et v→ sont orthogonaux. Calculons ‖u→+v→‖² par bilinéarité : ‖u→+v→‖² = u→·u→+2×u→·v→+v→·v→ = 9+0+16 = 25, donc ‖u→+v→‖ = 5, cohérent avec le triangle rectangle 3-4-5 (Pythagore).
Expression analytique dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si u→(x;y) et v→(x’;y’), alors u→·v→ = x×x’ + y×y’. La norme d’un vecteur u→(x;y) est ‖u→‖ = √(x²+y²) (car ‖u→‖² = u→·u→ = x²+y²).
Exemple traité : Soient u→(3;-2) et v→(4;6). u→·v→ = 3×4+(-2)×6 = 12-12 = 0 : u→ et v→ sont orthogonaux. ‖u→‖ = √(3²+(-2)²) = √13, et ‖v→‖ = √(4²+6²) = √52 = 2√13.
Théorème d’Al-Kashi et formule de la médiane
Le théorème d’Al-Kashi généralise Pythagore : dans un triangle ABC, BC² = AB²+AC²-2×AB×AC×cos(Â). La formule de la médiane énonce que si I est le milieu de [BC], alors AB²+AC² = 2AI²+BC²/2.
Exemple traité : Triangle ABC avec AB=5, AC=7, Â=60°. Al-Kashi : BC² = 25+49-2×5×7×0,5 = 74-35 = 39, donc BC = √39. Formule de la médiane : 25+49 = 2AI²+39/2, soit 74 = 2AI²+19,5, soit 2AI² = 54,5, soit AI² = 27,25, donc AI = √27,25 ≈ 5,22.
Applications : équation cartésienne d’un cercle et d’une droite
Cercle de diamètre [AB] : M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA→·MB→ = 0. Droite définie par un point et un vecteur normal : la droite passant par A(xA;yA) de vecteur normal n→(a;b) a pour équation a(x-xA)+b(y-yA) = 0.
Exemple traité : Soient A(1;2), B(5;6). Pour M(x;y), MA→(1-x;2-y), MB→(5-x;6-y). MA→·MB→ = (1-x)(5-x)+(2-y)(6-y) = (x²-6x+5)+(y²-8y+12) = x²+y²-6x-8y+17 = 0 : équation du cercle de diamètre [AB]. Droite passant par A(1;2) de vecteur normal n→(3;-1) : 3(x-1)-1(y-2)=0, soit 3x-y-1=0.
Exercices
1. Dans un repère orthonormé, soient u→(2;5) et v→(-3;4). Calculer u→·v→, puis ‖u→‖ et ‖v→‖.
2. Soient u→ et v→ tels que ‖u→‖=6, ‖v→‖=8, et l’angle entre eux mesure 120°. Calculer u→·v→.
3. Soient u→(4;k) et v→(2;-8) dans un repère orthonormé. Déterminer k pour que u→ et v→ soient orthogonaux.
4. Dans un triangle ABC, AB=8, AC=5, Â=45°. Calculer BC² puis une valeur approchée de BC au centième près (cos(45°)=√2/2≈0,7071).
5. Soient A(-1;3) et B(5;1). Déterminer l’équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].
6. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (D) passant par A(2;-3) et de vecteur normal n→(4;1).
7. (Synthèse) Soit ABC un triangle rectangle en A, AB=6, AC=8, I le milieu de [BC]. a) Calculer BC à l’aide de Pythagore (Al-Kashi avec Â=90°). b) Calculer AI par la formule de la médiane, et en déduire une propriété de la médiane issue de l’angle droit. c) Retrouver ce résultat en plaçant un repère orthonormé adapté et en calculant AI par les coordonnées.
Corrigés
1. u→·v→ = 2×(-3)+5×4 = -6+20 = 14. ‖u→‖ = √(2²+5²) = √29. ‖v→‖ = √((-3)²+4²) = √25 = 5.
2. u→·v→ = ‖u→‖×‖v→‖×cos(120°) = 6×8×(-0,5) = 48×(-0,5) = -24.
3. u→·v→ = 0 ⟺ 4×2+k×(-8) = 0 ⟺ 8-8k = 0 ⟺ 8k = 8 ⟺ k = 1.
4. BC² = AB²+AC²-2×AB×AC×cos(Â) = 64+25-2×8×5×0,7071 = 89-80×0,7071 = 89-56,568 = 32,432. BC = √32,432 ≈ 5,69 (au centième près).
5. Pour M(x;y), MA→(-1-x;3-y), MB→(5-x;1-y). MA→·MB→ = (-1-x)(5-x)+(3-y)(1-y) = 0. Développons : (-1-x)(5-x) = -5+x-5x+x² = x²-4x-5. (3-y)(1-y) = 3-3y-y+y² = y²-4y+3. Somme : x²-4x-5+y²-4y+3 = 0, soit x²+y²-4x-4y-2 = 0.
6. Équation : a(x-xA)+b(y-yA) = 0 avec A(2;-3) et n→(4;1) : 4(x-2)+1(y+3) = 0, soit 4x-8+y+3 = 0, soit 4x+y-5 = 0.
7. a) Â=90° : BC² = AB²+AC²-2×AB×AC×cos(90°) = 36+64-0 = 100, donc BC = √100 = 10 (Pythagore retrouvé). b) Formule de la médiane : AB²+AC² = 2AI²+BC²/2, soit 36+64 = 2AI²+50, soit 100 = 2AI²+50, soit 2AI² = 50, soit AI² = 25, donc AI = 5. On remarque que AI = 5 = BC/2 = 10/2 : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse. c) ABC étant rectangle en A, AB→ et AC→ sont orthogonaux. Plaçons A(0;0), B(6;0), C(0;8) (AB=6 sur l’axe des abscisses, AC=8 sur l’axe des ordonnées, angle droit en A). Le milieu I de [BC] a pour coordonnées I(3;4). Alors AI = √(3²+4²) = √25 = 5, ce qui confirme AI = 5 = BC/2, retrouvant par le calcul direct la propriété de la médiane issue de l’angle droit.
