Contrairement au produit scalaire (qui associe à deux vecteurs un nombre réel), le produit vectoriel associe à deux vecteurs de l’espace un troisième vecteur, orthogonal aux deux premiers. Cet outil, propre à la géométrie dans l’espace, permet de tester la colinéarité de deux vecteurs, de calculer des aires (triangles, parallélogrammes) et des volumes (tétraèdres, parallélépipèdes), et de déterminer facilement un vecteur normal à un plan.
Définition du produit vectoriel
Dans un repère orthonormé direct (O, i⃗, j⃗, k⃗) de l’espace, le produit vectoriel de deux vecteurs u⃗(x, y, z) et v⃗(x′, y′, z′) est le vecteur noté u⃗ ∧ v⃗, défini par ses coordonnées : u⃗ ∧ v⃗ = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′). Géométriquement, u⃗ ∧ v⃗ est orthogonal à la fois à u⃗ et à v⃗, et son sens est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon). Contrairement au produit scalaire u⃗ · v⃗ qui est un nombre, le résultat u⃗ ∧ v⃗ est un vecteur.
Exemple : soit u⃗(1, 2, 3) et v⃗(4, 5, 6). Première coordonnée : 2×6 − 3×5 = 12 − 15 = −3. Deuxième coordonnée : 3×4 − 1×6 = 12 − 6 = 6. Troisième coordonnée : 1×5 − 2×4 = 5 − 8 = −3. Donc u⃗ ∧ v⃗ = (−3 ; 6 ; −3).
Propriétés algébriques et critère de colinéarité
Le produit vectoriel vérifie les propriétés suivantes : antisymétrie u⃗ ∧ v⃗ = −(v⃗ ∧ u⃗) ; bilinéarité par rapport à chacun des deux vecteurs ; et u⃗ ∧ u⃗ = 0⃗ pour tout vecteur u⃗. Propriété essentielle : pour deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗, on a u⃗ ∧ v⃗ = 0⃗ si et seulement si u⃗ et v⃗ sont colinéaires. Cette caractérisation fournit un test pratique de colinéarité en coordonnées.
Exemple : soit u⃗(2, −1, 3) et v⃗(−4, 2, −6). On remarque que v⃗ = −2 × u⃗ (en effet −2×2 = −4, −2×(−1) = 2, −2×3 = −6) : les vecteurs sont colinéaires. Vérifions avec le produit vectoriel : première coordonnée (−1)×(−6) − 3×2 = 6 − 6 = 0 ; deuxième coordonnée 3×(−4) − 2×(−6) = −12 + 12 = 0 ; troisième coordonnée 2×2 − (−1)×(−4) = 4 − 4 = 0. On obtient bien u⃗ ∧ v⃗ = (0 ; 0 ; 0), ce qui confirme la colinéarité.
Norme du produit vectoriel et calcul d’aires
La norme du produit vectoriel vérifie ‖u⃗ ∧ v⃗‖ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × sin θ, où θ est l’angle géométrique entre u⃗ et v⃗ (0 ≤ θ ≤ π). Cette formule a une interprétation géométrique directe : ‖u⃗ ∧ v⃗‖ est égale à l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u⃗ et v⃗, et donc l’aire du triangle formé par u⃗ et v⃗ vaut la moitié : Aire(triangle) = (1/2) × ‖u⃗ ∧ v⃗‖.
Exemple : soit u⃗(2, 1, −1) et v⃗(1, −1, 2). On calcule u⃗ ∧ v⃗ : première coordonnée 1×2 − (−1)×(−1) = 2 − 1 = 1 ; deuxième coordonnée (−1)×1 − 2×2 = −1 − 4 = −5 ; troisième coordonnée 2×(−1) − 1×1 = −2 − 1 = −3. Donc u⃗ ∧ v⃗ = (1 ; −5 ; −3), et ‖u⃗ ∧ v⃗‖ = √(1² + (−5)² + (−3)²) = √(1 + 25 + 9) = √35. L’aire du parallélogramme construit sur u⃗ et v⃗ vaut donc √35, et l’aire du triangle correspondant vaut √35 ÷ 2.
Produit mixte et calcul de volumes
Le produit mixte de trois vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ de l’espace est le nombre réel (u⃗ ∧ v⃗) · w⃗ (produit vectoriel puis produit scalaire). Sa valeur absolue donne le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs : Volume(parallélépipède) = |(u⃗ ∧ v⃗) · w⃗|. Pour un tétraèdre ABCD, le volume s’obtient à partir des vecteurs AB⃗, AC⃗, AD⃗ par la formule : Volume(tétraèdre) = (1/6) × |(AB⃗ ∧ AC⃗) · AD⃗|.
Exemple : soit un tétraèdre ABCD tel que AB⃗(1, 2, 0), AC⃗(0, 1, 3) et AD⃗(2, 0, 1). On calcule d’abord AB⃗ ∧ AC⃗ : première coordonnée 2×3 − 0×1 = 6 ; deuxième coordonnée 0×0 − 1×3 = −3 ; troisième coordonnée 1×1 − 2×0 = 1. Donc AB⃗ ∧ AC⃗ = (6 ; −3 ; 1). On calcule ensuite (AB⃗ ∧ AC⃗) · AD⃗ = 6×2 + (−3)×0 + 1×1 = 12 + 0 + 1 = 13. Le volume du tétraèdre vaut donc (1/6) × |13| = 13/6.
Application : équation d’un plan à l’aide du produit vectoriel
Si un plan P est défini par un point A et deux vecteurs directeurs u⃗ et v⃗ non colinéaires, alors le vecteur n⃗ = u⃗ ∧ v⃗ est automatiquement orthogonal à u⃗ et à v⃗ (d’après la définition du produit vectoriel), donc n⃗ est un vecteur normal au plan P. On peut ainsi obtenir directement l’équation cartésienne de P sans chercher de vecteur normal par tâtonnement.
Exemple : soit le plan P passant par A(1, 0, −2) et dirigé par u⃗(1, 1, 0) et v⃗(0, 1, 1). On calcule n⃗ = u⃗ ∧ v⃗ : première coordonnée 1×1 − 0×1 = 1 ; deuxième coordonnée 0×0 − 1×1 = −1 ; troisième coordonnée 1×1 − 1×0 = 1. Donc n⃗(1, −1, 1). L’équation de P est alors 1(x − 1) − 1(y − 0) + 1(z − (−2)) = 0, soit x − 1 − y + z + 2 = 0, c’est-à-dire x − y + z + 1 = 0.
Exercices
1. Soit u⃗(3, −1, 2) et v⃗(1, 4, −2). Calculer les coordonnées du produit vectoriel u⃗ ∧ v⃗.
2. Montrer que les vecteurs u⃗(4, −2, 6) et v⃗(−6, 3, −9) sont colinéaires, en calculant leur produit vectoriel.
3. Soit A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) et C(0, 0, 3) trois points de l’espace. Calculer l’aire du triangle ABC à l’aide du produit vectoriel.
4. Soit un tétraèdre ABCD avec A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 3, 0) et D(0, 0, 4). Calculer son volume à l’aide du produit mixte.
5. Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(2, −1, 3) et dirigé par les vecteurs u⃗(1, 0, −1) et v⃗(2, 1, 0).
6. Soit u⃗(2, 1, −3) et v⃗(1, −2, 1). Calculer u⃗ ∧ v⃗, puis vérifier par le calcul que ce vecteur est orthogonal à la fois à u⃗ et à v⃗.
7. Soit u⃗(1, 2, 2) et v⃗(2, −1, 2). Vérifier sur cet exemple l’identité de Lagrange ‖u⃗ ∧ v⃗‖² + (u⃗ · v⃗)² = ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖², puis démontrer cette identité pour deux vecteurs quelconques.
Corrigés
1.
On applique la formule u⃗ ∧ v⃗ = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′) avec u⃗(3, −1, 2) et v⃗(1, 4, −2). Première coordonnée : (−1)×(−2) − 2×4 = 2 − 8 = −6. Deuxième coordonnée : 2×1 − 3×(−2) = 2 + 6 = 8. Troisième coordonnée : 3×4 − (−1)×1 = 12 + 1 = 13. Donc u⃗ ∧ v⃗ = (−6 ; 8 ; 13).
2.
On remarque d’abord que v⃗ = −1,5 × u⃗ : en effet −1,5×4 = −6, −1,5×(−2) = 3, −1,5×6 = −9. Les deux vecteurs sont donc colinéaires. Vérifions par le calcul du produit vectoriel : première coordonnée (−2)×(−9) − 6×3 = 18 − 18 = 0 ; deuxième coordonnée 6×(−6) − 4×(−9) = −36 + 36 = 0 ; troisième coordonnée 4×3 − (−2)×(−6) = 12 − 12 = 0. On obtient u⃗ ∧ v⃗ = (0 ; 0 ; 0), ce qui confirme la colinéarité de u⃗ et v⃗.
3.
On calcule les vecteurs AB⃗ = B − A = (−1, 2, 0) et AC⃗ = C − A = (−1, 0, 3). On calcule AB⃗ ∧ AC⃗ : première coordonnée 2×3 − 0×0 = 6 ; deuxième coordonnée 0×(−1) − (−1)×3 = 0 + 3 = 3 ; troisième coordonnée (−1)×0 − 2×(−1) = 0 + 2 = 2. Donc AB⃗ ∧ AC⃗ = (6 ; 3 ; 2), et ‖AB⃗ ∧ AC⃗‖ = √(6² + 3² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7. L’aire du triangle ABC vaut la moitié de cette norme : Aire = 7 ÷ 2 = 3,5.
4.
On calcule les vecteurs AB⃗(2, 0, 0), AC⃗(0, 3, 0) et AD⃗(0, 0, 4). On calcule d’abord AB⃗ ∧ AC⃗ : première coordonnée 0×0 − 0×3 = 0 ; deuxième coordonnée 0×0 − 2×0 = 0 ; troisième coordonnée 2×3 − 0×0 = 6. Donc AB⃗ ∧ AC⃗ = (0 ; 0 ; 6). On calcule ensuite le produit mixte (AB⃗ ∧ AC⃗) · AD⃗ = 0×0 + 0×0 + 6×4 = 24. Le volume du tétraèdre est Volume = (1/6) × |24| = 4.
5.
Le vecteur normal au plan est n⃗ = u⃗ ∧ v⃗ avec u⃗(1, 0, −1) et v⃗(2, 1, 0). Première coordonnée : 0×0 − (−1)×1 = 0 + 1 = 1. Deuxième coordonnée : (−1)×2 − 1×0 = −2 − 0 = −2. Troisième coordonnée : 1×1 − 0×2 = 1 − 0 = 1. Donc n⃗(1, −2, 1). L’équation du plan passant par A(2, −1, 3) est : 1(x − 2) − 2(y − (−1)) + 1(z − 3) = 0, soit x − 2 − 2y − 2 + z − 3 = 0, c’est-à-dire x − 2y + z − 7 = 0.
6.
On calcule u⃗ ∧ v⃗ avec u⃗(2, 1, −3) et v⃗(1, −2, 1). Première coordonnée : 1×1 − (−3)×(−2) = 1 − 6 = −5. Deuxième coordonnée : (−3)×1 − 2×1 = −3 − 2 = −5. Troisième coordonnée : 2×(−2) − 1×1 = −4 − 1 = −5. Donc u⃗ ∧ v⃗ = (−5 ; −5 ; −5).
Vérifions l’orthogonalité avec u⃗ : (u⃗ ∧ v⃗) · u⃗ = (−5)×2 + (−5)×1 + (−5)×(−3) = −10 − 5 + 15 = 0. Vérifions avec v⃗ : (u⃗ ∧ v⃗) · v⃗ = (−5)×1 + (−5)×(−2) + (−5)×1 = −5 + 10 − 5 = 0. Les deux produits scalaires sont nuls : le vecteur u⃗ ∧ v⃗ est bien orthogonal à u⃗ et à v⃗, conformément à la propriété générale du produit vectoriel.
7.
Vérification numérique : avec u⃗(1, 2, 2) et v⃗(2, −1, 2), on calcule u⃗ · v⃗ = 1×2 + 2×(−1) + 2×2 = 2 − 2 + 4 = 4, et (u⃗ · v⃗)² = 16. On calcule les normes : ‖u⃗‖² = 1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9, et ‖v⃗‖² = 2² + (−1)² + 2² = 4 + 1 + 4 = 9, donc ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖² = 9 × 9 = 81.
On calcule ensuite u⃗ ∧ v⃗ : première coordonnée 2×2 − 2×(−1) = 4 + 2 = 6 ; deuxième coordonnée 2×2 − 1×2 = 4 − 2 = 2 ; troisième coordonnée 1×(−1) − 2×2 = −1 − 4 = −5. Donc u⃗ ∧ v⃗ = (6 ; 2 ; −5), et ‖u⃗ ∧ v⃗‖² = 6² + 2² + (−5)² = 36 + 4 + 25 = 65.
On vérifie alors : ‖u⃗ ∧ v⃗‖² + (u⃗ · v⃗)² = 65 + 16 = 81, ce qui est bien égal à ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖² = 81. L’identité est vérifiée sur cet exemple.
Démonstration générale : pour deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ faisant entre eux un angle θ, on a u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos θ et ‖u⃗ ∧ v⃗‖ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ sin θ. Donc ‖u⃗ ∧ v⃗‖² + (u⃗ · v⃗)² = ‖u⃗‖² ‖v⃗‖² sin² θ + ‖u⃗‖² ‖v⃗‖² cos² θ = ‖u⃗‖² ‖v⃗‖² (sin² θ + cos² θ) = ‖u⃗‖² ‖v⃗‖², puisque sin² θ + cos² θ = 1 pour tout angle θ. L’identité ‖u⃗ ∧ v⃗‖² + (u⃗ · v⃗)² = ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖² est donc vraie pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ de l’espace.
