I. Rappel : la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Dans un tableau de proportionnalité, on passe d’une ligne à l’autre en multipliant chaque valeur de la première ligne par ce coefficient.
II. Définition d’une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre a × x, où a est un nombre fixé appelé coefficient de la fonction linéaire.
On note cette fonction f et on écrit : f(x) = a × x, ou plus simplement y = a x.
Une fonction linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité : les valeurs de y sont proportionnelles aux valeurs de x, de coefficient a.
III. Représentation graphique d’une fonction linéaire
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire y = a x est une droite qui passe toujours par l’origine O du repère.
Pour tracer cette droite, il suffit de calculer les coordonnées d’un seul point (autre que l’origine), puis de tracer la droite passant par ce point et par O. On peut aussi calculer un deuxième point pour vérifier l’alignement.
IV. Image et antécédent
Pour une fonction linéaire f(x) = a x : le nombre f(x) obtenu à partir de x est appelé l’image de x par f. Réciproquement, x est appelé un antécédent de f(x).
Calculer une image se fait en remplaçant x par sa valeur dans l’expression de la fonction. Calculer un antécédent se fait en résolvant une équation.
V. Applications de la fonction linéaire
De nombreuses situations réelles se modélisent par une fonction linéaire : un pourcentage (par exemple une remise de 15 %, soit y = 0,15 x), une conversion d’unités à coefficient fixe, une vitesse constante (distance = vitesse × temps), ou une échelle sur une carte.
Dans tous ces cas, si on double la valeur de x, la valeur de y double aussi ; si on triple x, y triple aussi : c’est la signature d’une situation de proportionnalité, donc d’une fonction linéaire.
Méthode : pour reconnaître une fonction linéaire dans un problème concret, on vérifie que la grandeur étudiée est nulle quand x = 0, et que le rapport y/x reste constant.
Exercices
Exercice 1. f est la fonction linéaire définie par f(x) = 4x. Calcule f(3) et f(−2).
Exercice 2. g est la fonction linéaire définie par g(x) = −2,5x. Calcule l’antécédent de 15 par g.
Exercice 3. Un article coûte x dirhams. Avec une remise de 20 %, le montant de la remise est y dirhams. Exprime y en fonction de x, puis calcule la remise pour un article à 85 DH.
Exercice 4. Une fonction linéaire f vérifie f(2) = 7 et f(6) = 21. Détermine le coefficient a de cette fonction, puis calcule f(10).
Exercice 5. Une voiture roule à vitesse constante de 90 km/h. Exprime la distance parcourue d (en km) en fonction du temps t (en heures). Est-ce une fonction linéaire ? Calcule la distance parcourue en 2 h 30 min.
Corrigés
Corrigé 1. f(3) = 4 × 3 = 12. f(−2) = 4 × (−2) = −8.
Corrigé 2. On cherche x tel que g(x) = 15, donc −2,5x = 15, d’où x = 15/(−2,5) = −6. L’antécédent de 15 par g est −6.
Corrigé 3. y = 0,20 × x (fonction linéaire de coefficient 0,20). Pour x = 85 : y = 0,20 × 85 = 17. La remise est de 17 DH.
Corrigé 4. a = f(x)/x = 7/2 = 3,5 (on vérifie : 21/6 = 3,5 aussi). Donc f(x) = 3,5x, et f(10) = 3,5 × 10 = 35.
Corrigé 5. d = 90 × t. Oui, c’est une fonction linéaire de coefficient 90. Pour t = 2,5 h (2 h 30 min), d = 90 × 2,5 = 225 km.
