I. La pyramide
Une pyramide est un solide formé d’une base polygonale et de faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point commun appelé le sommet.
La hauteur de la pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base (mesurée perpendiculairement).
Volume de la pyramide : V = (Aire de la base × hauteur) ÷ 3.II. Le cône de révolution
Un cône de révolution est un solide formé d’une base circulaire et d’une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet situé sur l’axe perpendiculaire au centre de la base.
Volume du cône de révolution : V = (π × r² × h) ÷ 3, où r est le rayon de la base et h la hauteur du cône.III. Comparaison avec le prisme et le cylindre
Pour une même base et une même hauteur, le volume d’une pyramide est le tiers du volume du prisme correspondant, et le volume d’un cône est le tiers du volume du cylindre correspondant.
Exercices
- Une pyramide a une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 9 cm. Calculer son volume.
- Un cône de révolution a un rayon de base de 4 cm et une hauteur de 6 cm. Calculer son volume (arrondir au centième, π ≈ 3,14).
- Un prisme droit et une pyramide ont la même base (aire 20 cm²) et la même hauteur (12 cm). Calculer le volume de chacun, puis vérifier le rapport entre les deux.
- Une pyramide a un volume de 60 cm³ et une base d’aire 15 cm². Calculer sa hauteur.
- Un glacier vend une glace dans un cône de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm. Calculer le volume de glace que peut contenir le cône (arrondir au centième).
Corrigés
- Aire de la base = 6 × 6 = 36 cm². V = (36 × 9) ÷ 3 = 324 ÷ 3 = 108 cm³.
- V = (π × r² × h) ÷ 3 = (3,14 × 16 × 6) ÷ 3 = 301,44 ÷ 3 = 100,48 cm³.
- Prisme : V = 20 × 12 = 240 cm³. Pyramide : V = (20 × 12) ÷ 3 = 80 cm³. On vérifie que 80 = 240 ÷ 3 : le volume de la pyramide est bien le tiers de celui du prisme.
- V = (Aire × h) ÷ 3 ⟹ h = (3 × V) ÷ Aire = (3 × 60) ÷ 15 = 180 ÷ 15 = 12 cm.
- V = (3,14 × 3² × 10) ÷ 3 = (3,14 × 9 × 10) ÷ 3 = 282,6 ÷ 3 = 94,2 cm³.
