La rotation est une transformation du plan qui généralise la symétrie centrale, définie par un centre et un angle, et qui conserve les distances et les angles.
Définition de la rotation
La rotation de centre Ω et d’angle θ est la transformation du plan qui, à tout point M, associe le point M’ tel que : ΩM’=ΩM et l’angle orienté (ΩM⃗,ΩM’⃗)=θ. Le point Ω est le seul point invariant par cette rotation (sauf si θ=0).
Cas particuliers
La rotation de centre Ω et d’angle θ=π (180°) est identique à la symétrie centrale de centre Ω. La rotation d’angle θ=0 est l’identité (tout point est invariant).
Propriétés de conservation
Une rotation conserve : les distances (M’N’=MN), les angles (orientés et non orientés), les alignements, le parallélisme, et transforme un cercle de rayon r en un cercle de même rayon r. C’est donc une isométrie qui conserve l’orientation.
Écriture complexe d’une rotation
Dans le plan complexe, la rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ associe à tout point M(z) le point M'(z’) tel que : z’−ω = eiθ(z−ω), soit z’=eiθ·z+ω(1−eiθ).
Exercices
Exercice 1 — Quelle est l’image du centre Ω par une rotation de centre Ω ?
Exercice 2 — Quelle transformation obtient-on pour une rotation d’angle θ=π ?
Exercice 3 — Une rotation de centre Ω transforme A en A’. Que peut-on dire de ΩA et ΩA’ ?
Exercice 4 — Un triangle ABC est transformé par une rotation en A’B’C’. Que peut-on dire des longueurs des côtés des deux triangles ?
Exercice 5 — Soit r la rotation de centre O et d’angle π/2. Quelle est l’image du point A(1;0) (dans un repère orthonormé direct) ?
Exercice 6 — Une rotation transforme un cercle de rayon 5 en un autre cercle. Quel est le rayon du cercle image ?
Exercice 7 — Écrire l’expression complexe de la rotation de centre O (origine) et d’angle π/2, sachant que e^(iπ/2)=i
Corrigés
Corrigé 1 — Ω est invariant par toute rotation de centre Ω : son image est lui-même
Corrigé 2 — On obtient la symétrie centrale de centre Ω
Corrigé 3 — ΩA = ΩA’ (la rotation conserve les distances au centre)
Corrigé 4 — Les longueurs sont conservées : A’B’=AB, B’C’=BC, A’C’=AC (isométrie)
Corrigé 5 — L’image de A(1;0) par une rotation d’angle π/2 autour de O est le point (0;1), obtenu en tournant le point d’un quart de tour dans le sens direct
Corrigé 6 — Le rayon du cercle image reste 5 (la rotation conserve les distances, donc les rayons)
Corrigé 7 — z’ = i·z (car ω=0, donc z’=e^(iπ/2)·z+0 = i·z)
